Demostrar que para cada tres enteros distintos de cero, a, b y c, al menos uno de los tres productos el ab, ac, bc es positivo

Question

La pregunta es:

Demostrar que para cada tres no-cero enteros, a,b y c, al menos uno de los tres productos ab,ac,bc es positivo. El uso de la prueba por contradicción.

Mi general, enfoque de la contradicción es la siguiente:

Siempre me gusta su vez las declaraciones en lógica proposicional, con una implicación. En este caso sería:

[Para todos los a,b,c en el dominio de entero distinto de cero Si a,b y c son tres cero enteros], entonces al menos uno de los tres productos ab,ac,bc es positivo.

Entonces me tome la negación: (P ^ ~Q)

Supongamos por el contrario,existen a,b y c que no son cero enteros, y ninguno de los tres productos ab,ac y bc son positivos.

Ahora, elijo a = 1, b = -1 , c = 2

una.b = -1 una.c = 2 b.c = -2

Desde un.c es positivo, nuestra suposición es falsa y tenemos una contradicción. Por lo tanto, el original de la declaración es verdadera.

Por favor, siéntase libre de compartir cualquier otras alternativas...(contradicción)

Answer 1

El producto de tres números negativos es negativa. Así que si $ab$, $ac$, y $bc$ son todas negativas, entonces $(ab)(ac)(bc)\lt0$. Pero $(ab)(ac)(bc)=a^2b^2c^2$ es el producto de tres plazas, que son todas positivas.

Answer 2

Sugerencia: uno de los siguientes es cierto acerca de los números enteros: (todos positivos), (todos negativos), (uno positivo y dos negativos), o (dos positivos y uno negativo).

Answer 3

Supongamos por el contrario, existen $a$, $b$ y $c$ que no son cero enteros, y ninguno de los tres productos $ab$, $ac$ y $bc$ son positivos.

Las cosas generalmente se ven bien hasta este punto. En particular, la afirmación anterior es una buena suposición de hacer para la prueba por contradicción.

Ahora, elijo a = 1, b = -1 , c = 2

Esto no es aceptable: el supuesto de no decir "para cualquier $a$, $b$ y $c$ que no son cero enteros" (que nos permitiría elegir cualquiera distinto de cero $a$, $b$, y $c$ para un contraejemplo), dijo simplemente "no existe". Resulta que hay algunas opciones de $a$, $b$, y $c$ que no satisfacer la "ninguno de los productos de la" condición, pero ¿y qué? Todo lo que se necesita para justificar un "no existe" declaración es encontrar un conjunto de números que hacer satisfacen la condición.

Aquí un ejemplo de por qué un contraejemplo no es contradictoria con una "no existe". Vamos a tratar de demostrar esta afirmación:

Cada número entero es par.

La prueba por contradicción:

Asumir el contrario, que existe un entero $n$ que no es uniforme.

Ahora coger $n = 2$.

Pero $2$ es aún, por lo tanto, la suposición (que no es) se contradice.

¿Por qué esto no funciona? Se puede ver cómo la lógica avanza como la lógica en la prueba? (Suponga que no existe ____ tal que ____; elegir algunos valores de las variables en el primer espacio en blanco; a continuación, muestran que para estos valores, la declaración de la segunda en blanco es falso.)

Answer 4

No puede probar esto con un ejemplo.

Por contradicción, supongamos que $ab<0$, $ac<0$ y $bc<0$.

Desde $ab<0$, entonces sea $a<0$ y % o $b>0$ $a>0$y $b<0$.

En el primer caso, el % de condición $ac<0$implica $c>0$, pero entonces $bc>0$. En el segundo caso implica la $bc<0$ $c>0$, pero entonces $ac>0$.

Ambos casos dan una contradicción.

Answer 5

Mapa de $a,b,c$ a su signo: $$ s\colon x \mapsto \frac x {\lvert x \rvert}\colon\{a,b,c\}\to \{-1,1\}. $$ Si la imagen de $s$ es a $\{-1\}$ o simplemente $\{1\}$, entonces todo de $a,b,c$ tienen el mismo signo y el producto de cualesquiera dos de ellos es positivo. Si la imagen de $s$ es de $\{-1,1\}$, entonces por el principio del casillero un % distinto dos $x,y\in \{a,b,c\}$tienen el mismo signo y $xy$ es positivo.