Como sólo quiere algún barrio compacto de $x \in X$ puedes tomar todo el espacio $X$ mismo. Obsérvese que, como los espacios métricos compactos están acotados, se trata también de una bola abierta centrada en $x$ .
A menudo es la única opción para un barrio compacto de $x$ que también es una bola abierta: Como todo subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado (porque los espacios métricos son Hausdorff) toda bola de este tipo debe ser clopen. Por tanto, si $X$ está conectado, por ejemplo $X = [0,1]$ No tenemos otra opción.
Creo que es importante señalar que su definición de una compacidad local no requieren la vecindad compacta de $x$ para ser un balón abierto, lo que usted (incorrectamente) parece asumir.
Esta suposición no sólo dificulta el problema dado, sino que puede fallar para espacios no compactos: Tomemos por ejemplo la recta real $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana estándar. Se trata de un espacio métrico localmente compacto (para cada $x \in \mathbb{R}$ el conjunto $[x-1,x+1]$ es una vecindad compacta de $x$ ), pero como $\mathbb{R}$ está conectada encontramos por la argumentación anterior que una bola compacta y abierta centrada en $x \in \mathbb{R}$ tendría que ser todo el espacio, lo cual es absurdo.
También me gustaría señalar que un espacio métrico compacto $X$ ya satisface la definición alternativa y más fuerte de un espacio localmente compacto, a saber, que cada $x \in X$ tiene una base de vecindades compactas, es decir, que cada vecindad $U$ de $x$ contiene una vecindad compacta. Para ver esto, observe que existe algún $\varepsilon > 0$ con $B_{2\varepsilon}(x) \subseteq U$ por lo que $\overline{B_{\varepsilon}(x)} \subseteq U$ . Este es un barrio de $x$ ya que contiene $B_{\varepsilon}(x)$ y como subconjunto cerrado del espacio compacto $X$ es compacto en sí mismo.
