Encuentre una base ortonormal para W y $W^{\perp}$

Question

Considere $\mathbb{C}^3$ con el producto interior estándar (es decir, el producto punto), y que $W = \text{span} \{(1, 0, 1), (i, i, i)\}$ .
(a) Encuentre una base ortonormal para $W$ .
(b) Encuentre una base ortonormal para $W^{\perp}$ .

Hice (a) usando Gram Schmidt, y obtuve $\{(1/\sqrt2, 0 , 1/\sqrt2), (0, 1, 0)\}$ como base ortonormal para W.

Para (b) no estaba seguro de qué hacer. He puesto $W^{\perp} = (a, b, c)$ . Entonces, $(a, b, c)^*(1, 0, 1) = 0$ y $(a, b, c)^*(i, i, i) = 0$ . De ello resulta que $a = -c$ y $b = 0$ .

Aquí es donde me quedé atascado. Mi pregunta es si mi respuesta a (a) es correcta. Para (b), ¿a dónde voy desde allí?

Answer 1

Sí, su respuesta a (a) es correcta. Tus conclusiones para (b) también son correctas. Sólo tienes que elegir los valores de $a$ y $c$ . Ahora ya sabes que $W^\perp = (a,0,-a)$ por lo que sólo hay que elegir un valor para $a$ para hacer el vector normalizado, que por (a) debes saber que es $1/\sqrt 2$ Así que $W^\perp$ está atravesado por $(1/\sqrt 2,0,-1/\sqrt 2)$ .