El subespacio del espacio de Lindelöf no es Lindelöf: Ejemplo

Question

El libro de topología de Munkres proporciona el ejemplo 30.5 (p.193, 2ª Ed) para un subespacio de un espacio de Lindelöf que no tiene por qué ser de Lindelöf, como sigue:

El cuadrado ordenado $I_0^2$ es compacta; por tanto, es Lindelöf trivialmente. Sin embargo, el subespacio $A = I \times (0,1)$ no es Lindelöf. Para $A$ es la unión de los conjuntos disjuntos $U_x = \{x\} \times (0,1)$ , cada uno de los cuales está abierto en $A$ . Esta colección de conjuntos es incontable y ninguna subcolección propia cubre $A$ .

Puedo entender en gran medida este argumento. Pero no me queda claro cómo $U_x$ está abierto en $A$ . ¿Podría alguien explicarlo? Gracias.

RD

Answer 1

El conjunto $U_x$ es abierto, ya que la topología del cuadrado ordenado no es la topología euclidiana estándar. La definición del orden en el cuadrado es lexicográfica, es decir $(x_1,y_1) < (x_2, y_2)$ si $x_1 < x_2$ o si $x_1 = x_2$ y $y_1 < y_2$ . La topología de orden correspondiente está generada por conjuntos de la forma $$ \{ (x, y) : (x_1, y_1) < (x,y) < (x_2, y_2)\} $$

En este ejemplo $U_x$ se obtiene tomando $(x_1, y_1) = (x,0)$ y $(x_2, y_2) = (x,1)$ .

Answer 2

Un ejemplo más sencillo es, en la notación de Munkres, $\overline{S_{\Omega}}$ . (El cierre del primer conjunto incontable bien ordenado en la topología de orden).

El espacio es compacto y por lo tanto Lindelöf trivialmente, (Es compacto porque es un conjunto bien ordenado con un máximo en la topología de orden, pero se pueden encontrar otras formas de demostrar que es Lindelöf.) pero $S_{\Omega}$ el mismo espacio sin el máximo, no es Lindelöf como la cubierta abierta $\{[0,\alpha)\}_{\alpha\in S_{\Omega}}$ no tiene una subcubierta contable. Obsérvese que todo conjunto contable en $S_{\Omega}$ está acotado.

Answer 3

Apoyo la respuesta de Rolf Hoyer. Como estoy leyendo el mismo libro que tú, una respuesta rápida a

"por qué $U_x=\{