¿Mi prueba de $|x+y| \le |x| + |y|$ ¿tiene sentido? ¿Cómo concluyo una prueba?

Question

Gracias por leerlo. Sé que he cometido muchos errores. Esta es mi primera prueba que he intentado. Otra nota es que sólo he estado estudiando pruebas durante una semana. Cualquier consejo será útil.

probar: $|x+y| |x| + |y|$
Caso 1: valores de x<0 e y<0, la función disminuirá: $|x+y| \overset{x<0}= |y\pm x|$
$|x+y| \overset{y<0}= |-y+x)|$
$A=|-x+y|$ ----> $A/X=-1$
$B=|-y+x|$ $B/Y=-1$

Caso 2: En el caso de (x,y)>0, las dos funciones opuestas de las desigualdades son iguales.
{|x+y| |x|+|y|: x>0 e y>0}
Esta es una propiedad normal del teorema del valor absoluto.
Notación: {|x+y| valores de x e y = |x|+|y| para todos los valores de x e y}

Caso 3: El caso 3 demuestra que los valores de |x|+|y| no se ven afectados por valores menores que cero
$|x| = \begin{cases} x,&\text{if }x\ge 0\\ -x,&\text{if }x<0 \end{cases}$

$|y| = \begin{cases} y,&\text{if }y\ge 0\\ -y&\text{if }y<0 \end{cases}$

$|X|+|y|>0$ cuando $(x,y)0$

Nota: No sé si lo he expresado correctamente; sin embargo, quise decir "para todos"

Gracias por leerlo. Sé que he cometido muchos errores. Esta es mi primera prueba que he intentado. Otra nota es que sólo he estado estudiando pruebas durante una semana. Cualquier consejo será útil.

***Editado

Answer 1

Creo que lo estáis complicando demasiado.

Sólo hay cuatro casos: $x \ge 0$ o $ x < 0$ combinado con $y \ge 0$ o $ y < 0$ .

Demuestra la desigualdad para cada uno de los cuatro casos y ya está.

Conceptos como valores "elegidos al azar" y las derivadas parciales de las variables son totalmente extraños y sólo estorban.

Mientras haces más pruebas, tendrás una sensación (de la experiencia) qué conceptos son relevantes y cuáles no.

Answer 2

La primera regla es asegurarse de que las frases son gramaticalmente correctas. Tu primera frase comienza "Como los valores de x e y se asignan aleatoriamente a valores negativos independientes de la otra variable..." implica que hay otra variable más allá de sólo x e y. Luego usaste el signo de implicación, $\implies$ que no encaja en el enunciado parentético. El (x, y)<0 no tiene sentido matemático. Sólo los números reales utilizan el signo <, y (x, y) no es un número real. Tal vez querías decir x por y. Tal vez podrías reestructurar la primera frase y podríamos continuar después. Para ser un primer intento lo estás haciendo bien.