Problema de prueba complicado basado en la integración definida

Question

Dejemos que $a+b=4$ , donde $a<2$ y que $g(x)$ sea una función diferenciable. Si la derivada, $\dfrac{dg}{dx} > 0$ para todos $x$ entonces demuestre que
$$\int_0^ag(x)\ dx + \int_0^bg(x)\ dx$$ aumenta a medida que $(b-a)$ aumenta.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Es la primera vez que me encuentro con este problema.

Answer 1

Poner $t=b-a$ encontramos que $a=2-t/2$ y que $b=2+t/2$ . Tenga en cuenta que $t>0$ como $a<2$ . De ahí que se quiera demostrar que la función $$F(t)=\int_0^{2-t/2}g(x)dx+\int_0^{2+t/2}g(x)dx$$ está aumentando. Pero $\displaystyle G(y)=\int_0^y g(x)dx$ es diferenciable, y $G^{\prime}(y)=g(y)$ .

Como $F(t)=G(2-t/2)+G(2+t/2)$ , $F$ es diferenciable y:

$$F^{\prime}(t)=-\frac{1}{2}g(2-t/2)+\frac{1}{2}g(2+t/2)$$

Ahora como $g$ es estrictamente creciente y $t>0$ obtenemos $F^{\prime}(t)>0$ y hemos terminado.