¿Por qué funciona este truco de la raíz cúbica?

Question

Entonces, descubrí que se pueden calcular las raíces cúbicas entre $1$ y $100$ utilizando este método:

Por ejemplo el número: $185193$

Si el último dígito $x$ es $2$ , $8$ , $3$ o $7$ el último dígito de la respuesta debe ser $10 - x$ ; si no es así, entonces $x$ . En este caso:

$$10-3 = 7$$

Ahora tenemos $\_7$ . Elimina los tres últimos dígitos para que obtengamos sólo $185$ . Entonces, comprueba en esta lista:

$$1^3 = 1 \\ 2^3 = 8 \\ 3^3 = 27 \\ 4^3 = 64 \\ 5^3 = 125 \\ 6^3 = 216 \\ 7^3 = 343 \\ 8^3 = 512 \\ 9^3 = 729$$

Comprueba entre qué dos cubos se encuentra ese número, el más bajo debe ser el primer dígito de la respuesta:

$$5^3 < 185 < 6^3$$

Por lo tanto, obtenemos:

$$57$$

Encontré este método en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Al7PllobwR4

Pero, ¿cómo funciona realmente este método y por qué?

Answer 1

Si $10n \leq x < 10(n+1)$ entonces $1000n^3 \leq x^3 < 1000(n+1)^3$ , y por lo tanto $$n^3 \leq \frac{x^3}{1000} < (n+1)^3.$$ Además, como $n^3$ y $(n+1)^3$ son enteros se puede ignorar la parte fraccionaria parte de $\frac{x^3}{1000},$ que es esencialmente lo que se hace cuando se los tres últimos dígitos de $x$ .

Para un número de dos dígitos sólo hay unas pocas opciones para $n$ ; por lo que al examinar su tabla de valores de $n^3$ puede averiguar qué valor de $n$ hace que la ecuación anterior sea verdadera. Así que la segunda parte de tu "truco" calculará correctamente el dígito de las decenas de la raíz cúbica de cualquier entero positivo menor que un millón.

El primero la mitad del truco depende de la suposición de que el número con el que comienza es un cubo perfecto. Se basa en el hecho de que en tu tabla de cubos de una sola cifra, no hay dos resultados en el lado derecho que tengan la mismo último dígito. Así que si $b$ es un dígito y sabes que el último dígito de $b^3$ , se puede saber qué $b$ es. (El truco da una misteriosa regla para calcular $b$ pero todo lo que tiene que hacer es dar la respuesta correcta para nueve valores de entrada diferentes. Diez, si se incluye el cero).

El truco también se basa en el hecho de que $(10a + b)^3 = 10(100a^3 + 30 a^2 b + 3ab^2) + b^3.$ Es decir, el último dígito de $(10a+b)^3$ es sólo el último dígito de $b^3$ .

El truco falla para los números que no son cubos perfectos para empezar. El primer dígito será correcto, pero no el resto. Por ejemplo, el truco dice que la raíz cúbica de $185194$ es $54$ pero sabes que tiene que ser mayor que $57 = \sqrt[3]{185193}.$

Answer 2

Escribe la raíz cúbica como $10a + b$ , $a$ y $b$ siendo los dígitos. $$(10a)^3 = 1000a^3$$ Teniendo en cuenta el coeficiente de $1000$ para nuestro cubo ( $185$ en su ejemplo), y luego simplemente buscarlo en una tabla le dará el coeficiente de $10$ en la representación decimal de la raíz, es decir, su primer dígito ( $5$ en su ejemplo).

Ahora hacia el segundo (último) dígito:

$$(10a + b)^3 \equiv c \pmod{10}$$ $$10(100a^3 ~+~ ...) + b^3 \equiv c \pmod{10}$$ $$b^3 \equiv c \pmod{10}$$

Todo lo que necesitamos para el último dígito de nuestra raíz cúbica es el último dígito del propio cubo. Afortunadamente el último dígito del cubo de todos los números de $0$ a $9$ es distinto Por lo tanto, podemos calcular fácilmente el último dígito de la raíz leyendo la siguiente tabla de derecha a izquierda:

$$0^3 \rightarrow 0$$ $$1^3 \rightarrow 1$$ $$2^3 \rightarrow 8$$ $$3^3 \rightarrow 7$$ $$4^3 \rightarrow 4$$ $$5^3 \rightarrow 5$$ $$6^3 \rightarrow 6$$ $$7^3 \rightarrow 3$$ $$8^3 \rightarrow 2$$ $$9^3 \rightarrow 9$$

El hecho de que para algunos cubos el último dígito no cambie no es vital para este método, al igual que el hecho de que para todos los demás el último dígito sea $10$ menos el último dígito original. Todavía podría realizar la búsqueda para el segundo dígito si ese no fuera el caso.

Así que esencialmente estás haciendo dos búsquedas que, debido a la forma en que funciona el sistema decimal, son suficientes para determinar de forma única la raíz cúbica.