Descomposición del anillo polinomial como módulo de $S_n$

Question

Quiero saber si existe una relación de contención entre los módulos $S_n$ de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{C}[x_1,\ldots ,x_n]$. ¿Es cierto que $\mathbb{C}[x_1,\ldots ,x_n]$ contiene una copia isomórfica de $\mathbb{C}S_n$? En otras palabras, supongamos que $\mathbb{C}[x_1,\ldots ,x_n]$ se descompone en módulos irreducibles como $\bigoplus_{\lambda\vdash n }r_\lambda V_\lambda$. ¿Entonces qué podemos decir sobre $r_\lambda$? ¿Es $r_\lambda\geq \dim V_\lambda$?

EDIT: Como Jeremy Rickard ha señalado que la afirmación anterior es cierta y $r_\lambda \geq \dim V_\lambda$.

Mi próxima pregunta: ¿Qué se puede decir sobre $r_\lambda$? ¿Qué tan grandes son en comparación con $\dim V_\lambda$?

Sabemos que $r_\lambda =\dim \text{Hom}(V_\lambda, \mathbb{C}[x_1,\ldots ,x_n])$ y $V_\lambda$ es el espacio generado por los polinomios $F_T$, donde $F_T=\prod_{i

Answer 1

Esto está husmeando alrededor de un área muy grande, por lo que es difícil saber exactamente qué decir. Los r_λ son un tipo de pregunta incorrecta: son siempre ∞. Es mucho mejor mirar al espacio de multiplicidad como un módulo sobre los polinomios simétricos. El hecho notable es que es un módulo libre y su rango es el mismo que dim V_λ. Este es un caso especial sobre un hecho mucho más general acerca de los grupos de Coxeter, actuando en su representación de reflexión: siempre obtienes que ℂ[V]≅ℂ[G]⊗ℂ[V]^G.

Encontrarás fácilmente la afirmación de que los invariantes son un anillo de polinomios (este es un caso especial del teorema de Chevalley-Shepard-Todd), pero esto es equivalente a la libertad de ℂ[V], y una vez que sabes que es libre, sabes que las multiplicidades de las representaciones de G en el cociente por cualquier ideal maximal en los invariantes dan los rangos de los espacios de multiplicidad. Un ideal maximal genérico en los invariantes es el ideal de anulación de una órbita libre, por lo que el cociente por él es una representación regular.