¿Cómo distribuir objetos distintos/identicos en contenedores distintos si al menos alguno de los contenedores debe contener más de un objeto?

Question

Dados $6$ objetos distintos y $10$ contenedores distintos, ¿cuántas formas hay de distribuir los objetos de modo que al menos un contenedor contenga más de un objeto? ¿Y si los objetos son idénticos?

Si los objetos son distintos, creo que hay un total de: $$ {10-1+6\choose 6}6! $$ formas de distribuir los objetos. Podemos calcular de cuántas formas podemos distribuir los objetos de modo que cada contenedor contenga exactamente $0$ o $1$ objeto: $$ {10\choose 6}6! $$ Elegimos $6$ contenedores de los $10$ que contendrán un objeto y los permutamos. Así que la respuesta final es: $$ {10-1+6\choose 6}6!-{10\choose 6}6! $$

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Si para la misma pregunta los objetos son idénticos, entonces no necesitamos permutar los objetos, por lo que la respuesta es: $$ {10-1+6\choose 6}-{10\choose 6} $$

Realmente no estoy seguro si la solución es correcta.

Answer 1

Dados $6$ objetos distintos y $10$ contenedores distintos, ¿cuántas formas hay de distribuir los objetos de manera que al menos un contenedor contenga más de un objeto?

Hay $10$ contenedores en los cuales cada uno de los seis objetos podría ser colocado, por lo tanto hay $10^6$ formas de distribuir los objetos sin restricción.

La restricción de que al menos un contenedor contenga más de un objeto significa que los seis objetos no pueden estar en seis contenedores diferentes. ¿En cuántas formas podría ocurrir esto?

Hay $\binom{10}{6}$ formas de elegir seis contenedores para recibir los objetos y $6!$ formas de distribuir los seis objetos distintos en esos contenedores. Por lo tanto, el número de formas en que los seis objetos distintos podrían distribuirse de manera que cada objeto se coloque en un contenedor diferente es $$P(10, 6) = \binom{10}{6}6! = \frac{10!}{4!6!} \cdot 6! = \frac{10!}{4!}$$ Por lo tanto, el número de formas de distribuir seis objetos distintos en diez contenedores distintos de modo que al menos un contenedor contenga más de un objeto es $$10^6 - \binom{10}{6}6!$$

Dados $6$ objetos idénticos y $10$ contenedores distintos, ¿cuántas formas hay de distribuir los objetos de manera que al menos un contenedor contenga más de un objeto?

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