Resolución de $5^n > 4,000,000$ sin una calculadora

Question

Si $n$ es un número entero y $5^n > 4,000,000.$ ¿cuál es el valor mínimo de $n$? (respuesta: $10$)

¿Cómo podría encontrar el valor de $n$ sin usar una calculadora?

Answer 1

$$\begin{eqnarray} & 5^n &>& 4.000.000\\ \Leftrightarrow & 5^n &>& 5^6 \cdot 2^8 \\ \Leftrightarrow & 5^{n-6} &>& 256.\\ \end{eqnarray}$$ entonces, $n=10$.

Answer 2

Divide 4000000 por 5 sin calculadora, 800000. Dividir otra vez; 160000. otra vez; 32000. 6400, a continuación, 1280, luego 256, luego 51 (redondeo), luego 10, luego 2. Así $2\times5^9$ es de 4000000, $5^{10}$ excede 4000000.

Answer 3

$4,000,000 = 2^2 \times 10^6 = 2^8 \times 5^6$, por lo que $5^{n-6} > 2^8 = 256$. Bueno, $5^3 = 125\ldots$.

Answer 4

Por reglas de logaritmo: $$5^{n}>4\cdot10^{6}\iff n>\log_{5}2^{2}2^{6}5^{6}=\log_{5}2^{8}+\log_{5}5^{6}=\log_{5}2^{8}+6=\log_{5}256+6

Ya que estos son números relativamente pequeños supongo que está bien escribir: $5^{3}=125$ así claramente $3<\log_{5}256<4$ por lo tanto el mínimo $n$ que satisfaga esta desigualdad es $4+6=10$

Answer 5

No sé, esta es una dura, especialmente sin una calculadora.

Este es el programa de Python que solía averiguar esto:

for n in range(1,11):
    print "5^%s-4,000,000 = %s" % (n, pow(5,n)-4000000)

Aquí está la salida:

5^1-4,000,000 = -3999995.0
5^2-4,000,000 = -3999975.0
5^3-4,000,000 = -3999875.0
5^4-4,000,000 = -3999375.0
5^5-4,000,000 = -3996875.0
5^6-4,000,000 = -3984375.0
5^7-4,000,000 = -3921875.0
5^8-4,000,000 = -3609375.0
5^9-4,000,000 = -2046875.0
5^10-4,000,000 = 5765625.0

Parece que $n=10$ es la respuesta.