Actualmente estoy matriculado en la asignatura de análisis real y mi ayudante de cátedra ha asignado la puntuación total de (1/5) a dos de mis preguntas calificadas. Afirmó que mis pruebas estaban "mal escritas" y se negó a cambiar mi nota después de que le guiara a través de las pruebas. Entiendo su dogma, pero no comentó cómo se podrían mejorar mis pruebas, así que sigo confundido sobre por qué mis pruebas eran difíciles de leer.
Creo que las pruebas son correctas, pero pido disculpas si son difíciles de seguir. El primer problema es el ejercicio 29 de Rudin del capítulo 2, y que el segundo problema es el de la Universidad de California: Los Angeles Basic Exam (Fall, 2005) Pregunta 5.
$(1)$
Demostrar que todo conjunto abierto en $R$ es la unión de una colección a lo sumo contable de segmentos disjuntos.
La prueba. Dejamos que $E \subset R$ sea un conjunto abierto y que $x \in E$ . Tomamos $a_x = \inf \{z \in R : [z,x] \in E\}$ y $b_x = \sup \{z \in R: [x,z] \in E\}$ . Si $a_x$ no existe, lo definimos como $-\infty$ . Si $b_x$ no existe, lo definimos como $\infty$ .
Demostramos que este intervalo $(a_x, b_x)$ es el intervalo máximo en $E$ que contiene $x$ . Vemos que el intervalo $(a_x,b_x) \subset E$ ya que si no es así, algún intervalo $(a,b)$ con $a < x < b$ y con $a_x < a$ o $b < b_x$ debe estar contenida en $E$ (ya que $x$ es un punto interior de $E$ ). Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_x < a$ . Entonces $[a,x] \in \{z \in R : [z,x] \in E\}$ ya que si no es así $a_x$ no sería el mayor límite inferior a su conjunto definido. Por lo tanto, $(a_x, b_x) \subset E$ . También vemos que $(a_x, b_x)$ es el intervalo máximo en $E$ que contiene $x$ . Supongamos que existe un intervalo mayor $(a,b) \supset (a_x, b_x)$ con $a < a_x$ o $b_x < b$ y $(a,b) \in E$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos $a < a_x$ . Entonces hay un poco de $q \in R$ tal que $a < q < a_x$ Así que $[q,x] \in E$ una contradicción.
Ahora demostramos que cuando $y \in E$ entonces $(a_x, b_x) = (a_y, b_y)$ o $(a_x, b_x) \cap (a_y, b_y) = \emptyset$ . Suponemos que $(a_x, b_x) \cap (a_y, b_y) \neq \emptyset$ . Trivialmente, tenemos que $(a_x, b_x) \cup (a_y, b_y) \in E$ está abierto. Entonces tenemos que $(a_x, b_x) \cup (a_y, b_y)$ es un conjunto conexo, por lo que tenemos que $(a_x, b_x) \cup (a_y, b_y)$ es un segmento, ya que podríamos tomar $a_{xy} = \inf\{x \in (a_x, b_x) \cup (a_y, b_y): x\}$ y $b_{xy} = \sup\{x \in (a_x, b_x) \cup (a_y, b_y): x\}$ y así tendríamos que $(a_{xy}, b_{xy}) = (a_x, b_x) \cup (a_y, b_y)$ . Por lo tanto, tenemos por los resultados anteriores que $(a_x, b_x) = (a_y, b_y)$ y por lo tanto tenemos el resultado.
$(2)$
Pruebe cuidadosamente que $R^2$ no es una unión (contable) de conjuntos $S_i$ $\left(i = 1,2,\dotsc\right)$ con cada $S_i$ siendo un subconjunto de alguna línea recta $L_i$ en $R^2$ .
Vemos que si una unión contable de rectas $L_i$ $(i = 1,2,\dotsc)$ no cubre $R^2$ entonces una unión contable de subconjuntos de rectas no cubre $R^2$ , ya que $ \bigcup S_i \subset \bigcup L_i \subsetneq R^2$ . Ahora vemos que si las líneas disjuntas no cubren $R^2$ entonces las líneas no disjuntas no cubren $R^2$ ya que podríamos suponer que algún conjunto de líneas $\{L_i\}$ portada $R^2$ entonces debe haber un subconjunto $\{L_j\}$ que es disjunta que cubre $R^2$ ya que si no, debe haber alguna línea $L_k$ tal que $L_k \cap \{L_j\} = \emptyset$ para cada subconjunto disjunto $\{L_j\} \subset \{L_i\}$ . Vemos que cualquier otra línea del conjunto completo debe intercalarse con la línea $L_k$ a lo sumo contablemente muchas veces y por lo tanto no se cumple la cardinalidad incontable que exige la línea y por lo tanto no cubre $R^2$ . Por lo tanto, restringimos nuestro argumento a un conjunto de líneas disjuntas $\{L_j\}$ .
Ahora demostramos que un conjunto de líneas disjuntas $\{L_j\}$ no puede cubrir $R^2$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que las líneas no son paralelas a la línea $(r,0)$ con $r \in R$ . A continuación, definimos la posición de una línea a partir de $(0,0)$ como el punto de intersección con la línea $(r,0)$ . Como sólo hay un número contable de intersecciones, tenemos que el conjunto no cubre $(r,0)$ y por lo tanto no $R^2$ . Por lo tanto, tenemos el resultado.
