¿Cómo derivar las ecuaciones de Maxwell del lagrangiano electromagnético?

Question

En unidades de Heaviside-Lorentz las ecuaciones de Maxwell son:

$$\nabla \cdot \vec{E} = \rho $$ $$ \nabla \times \vec{B} - \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{J}$$ $$ \nabla \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0 $$ $$ \nabla \cdot \vec{B} = 0$$

De la densidad lagrangiana EM: $$\mathcal{L} = \frac{-1}{4} F^{\mu \nu}F_{\mu\nu} - J^\mu A_\mu$$

Puedo derivar las dos primeras ecuaciones de la variación de la integral de acción: $S[A] = \int \mathcal{L} \, d^4x$. ¿Es posible derivar las dos últimas ecuaciones de ella?

Answer 1

Desde una perspectiva geométrica, las dos últimas ecuaciones son una consecuencia de:

(1)F = dA (el tensor de Faraday es la derivada exterior del potencial de cuatro)

(2) dd = 0 (la derivada exterior de la derivada exterior desaparece)

Por lo tanto

(3) dF = 0

que da las dos últimas ecuaciones en su pregunta.