Esta pregunta es una continuación de mi pregunta anterior . El enunciado de la pregunta es el título.
Tenga en cuenta que el $4$ -El espacio proyectivo real no es orientable y un argumento de clase característica da que no se incrusta en $7$ -espacio. En este momento, estoy más interesado en orientar $4$ -manifolds.
Esto es cierto si y sólo si $X^4$ es de espín y su firma se desvanece. Esto se encuentra en la página 345 de Gompf/Stipsicz (4-manifolds and Kirby calculus), que cita a Ruberman: Imbedding four-manifold and slicing links, 1982.
EDITAR Por supuesto, quiero decir que $X^4$ PUEDE ser incrustado en un espacio de 6 dimensiones si se cumplen las condiciones.
$\mathbb{CP}^2$ ni siquiera se sumerge en $\mathbb{R}^6$ . La prueba: Si existe tal inmersión, entonces la clase normal de Euler tiene la propiedad de que su cuadrado es la clase normal de Pontrjagin, es decir $-3$ veces la firma (cuando se evalúa en la clase de homología fundamental). Pero en $H^2(\mathbb{CP}^2)$ no existe tal clase $x$ para lo cual $x^2$ evaluado en la clase fundamental es $-3$ . QED.
Además el siguiente teorema es verdadero (Se debe esencialmente a Hughs) Teorema: En el grupo de cobordismo orientado de 4 dimensiones $\Omega_4 \cong \mathbb{Z}$ precisamente los elementos pares contienen un colector que admite una inmersión en $\mathbb{R}^6$ .
Sobre las incrustaciones: Las condiciones (el colector debe ser de espín y tener firma cero) son claramente necesarias: Una variedad incrustada en un espacio euclidiano tiene una clase de Euler normal nula. Por lo tanto, en el presente caso, tanto $p_1$ y $w_2$ son cero. Lo contrario no es trivial, es el contenido del artículo de Ruberman mencionado anteriormente.
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