La bola cerrada nunca es un conjunto abierto en un espacio vectorial normado.

Question

En un espacio vectorial normado $E$ el único conjunto abierto y cerrado es $E$ y el conjunto vacío como corolario de las propiedades conexas. También una bola cerrada no puede ser abierta, me gustaría demostrar este resultado con sólo el hecho de que :

Un conjunto $O$ de un espacio vectorial normado $(E,\Vert\Vert)$ es abierto si y sólo si $$\forall x\in O\quad \exists\varepsilon>0\quad B(x,\varepsilon) \subset O.$$

Así que si la bola cerrada $B(a,r]=O$ está abierto cada vez que elijo un elemento de $O$ existe $\varepsilon>0$ tal que $B(x,\varepsilon)\subset O$ . Con una imagen es claramente falsa eligiendo un elemento $x$ tal que $\Vert x-a \Vert=r$ . Tengo que elegir $x=a+r\nu$ donde $\nu$ es un vector unitario. Entonces tengo que demostrar que la bola abierta centrada en $a+r\nu$ con un radio estrictamente positivo $\varepsilon$ no puede incluirse en $O$ .

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Quiere demostrar que $B[a,r]$ no está abierto. Tú mismo lo has dicho: toma $x \in B[a,r]$ tal que $\|x - a\| = r.$ Tome cualquier $\epsilon > 0$ . Entonces la pelota $B(x,\epsilon)$ . No está contenido en $B[a,r]$ . Toma un vector conveniente y utiliza la desigualdad del triángulo.

Answer 2

Este es un buen comienzo. Un último argumento sería decir que para cualquier vector $y$ con $|x−y|=r$ para cualquier $ϵ>0$ , $$y_ϵ=y+\frac{ϵ}{2r}(y−x)$$ [ $y_\epsilon$ es sólo un poco más lejos de $x$ en el $y$ dirección] es como $|y−y_ϵ|<ϵ$ pero $|y_ϵ−x|>r$ .