Suma con valor absoluto $\sum_{k=-2}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k}\alpha^{|n-k|}$

Question

¿Cómo puedo calcular explícitamente $\sum_{k=-2}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k}\alpha^{|n-k|}$ para cada número entero n? Tenga en cuenta que $-1<\alpha<1$

Gracias

Answer 1

Sugerencia : $|n-k|=n-k$ si $k<n$ y $|n-k|=k-n$ si $k\ge n$ . Así que $$\sum_{k=-2}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{k}\alpha^{|n-k|} =\sum_{k=-2}^{n-1}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{k}\alpha^{n-k} +\sum_{k=n}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{k}\alpha^{k-n}$$ que es una suma de dos GP. Tendrá que tener cuidado con el primero si $\alpha=\frac{1}{2}$ .