En algunos homomorfismos especiales con imágenes conjugadas

Question

Sean $G$ y $A$ dos grupos finitos. Sean $\beta$ y $\alpha :G\rightarrow{\rm Aut}(A)$ dos homomorfismos. En general, no es cierto que si las imágenes de $\beta$ y $\alpha$ son conjugadas, entonces exista un $\sigma \in{\rm Aut}(A)$ tal que $\beta(g)=\sigma \circ \alpha (g)\circ \sigma^{-1}$ para todo $g\in G$, pero creo que podría ser cierto para un grupo $G$ en el cual todos sus automorfismos sean internos. Sin embargo, no sé cómo demostrarlo.

Muchas gracias.

Answer 1

Sean $G$ y $H$ grupos finitos (por ejemplo, $H=\operatorname{Aut}(A)$) y $\alpha,\beta:G \to H$ dos homomorfismos.

Supongamos que existe algún $\sigma \in H$ tal que $\beta(g) = \sigma \cdot \alpha(g) \cdot \sigma ^{-1}$ para todo $g\in G$. Entonces la imagen de $\alpha$ es conjugada (vía $\sigma$) a la imagen de $\beta$. Además, $\ker(\alpha)=\ker(\beta)$ ya que el único elemento conjugado a la identidad de $H$ es la identidad de $H$.

(Por lo tanto, has omitido una condición necesaria que $\ker(\alpha) = \ker(\beta)$).

Supongamos ahora que $\ker(\alpha) = \ker(\beta)$ de modo que los núcleos son iguales, $\operatorname{im}(\beta)^\sigma = \operatorname{im}(\alpha)$ para que las imágenes sean conjugadas, y $G/\ker(\alpha) = G/\ker(\beta)$ no tiene automorfismos externos. ¿Qué tiene que ver esto con $\alpha$ y $\beta$?

Definamos $\beta'(g) = \sigma^{-1} \cdot \beta(g) \cdot \sigma$ para que $\alpha$ y $\beta'$ tengan la misma imagen $I$ y el mismo núcleo $K$. Definimos $\bar \alpha:G/K \to I : gK \mapsto \alpha(g)$ y $\bar \beta'$ de manera similar.

Entonces $\bar \alpha$ y $\bar \beta'$ son dos isomorfismos de $G/K$ a $I$, por lo que su "diferencia", $\phi:G/K \to G/K: gK \mapsto \bar\alpha^{-1}(\bar\beta'(gK))$ es un automorfismo de $G/K$.

Si asumimos que $G/K$ no tiene automorfismos externos, entonces $\phi$ es interno, por lo que existe algún $xK \in G/K$ tal que $\phi(gK) = xgx^{-1} K$. Expandiendo la definición obtenemos $xgx^{-1} K = \bar\alpha^{-1}(\bar\beta'(gK))$ y así $\alpha(x) \alpha(g) \alpha(x)^{-1} = \beta'(g)$ y tomando $\sigma' = \sigma \cdot \alpha(x)$ obtenemos $\beta(g) = \sigma \beta'(g) \sigma^{-1} = \sigma \alpha(x) \alpha(g) \alpha(x)^{-1} \sigma^{-1} = \sigma' \alpha(g) (\sigma')^{-1}$ como se solicitó.