El original de la pregunta ha sido contestada (que son siempre un grupo cíclico). Quizás un poco más interesante es:
Fix $m\gt 0$. A continuación, el subconjunto de las unidades del modulo $m$ que son los cuadrados de forma un subgrupo de la invertible elementos modulo $m$. Cuando es este subgrupo cíclico?
Si hay una raíz primitiva módulo $m$ (es decir, si el grupo de unidades del modulo $m$ es cíclico), entonces la propiedad se mantiene. Esto ocurre cuando $m$ es una potencia de un extraño prime, dos veces al poder de un extraño prime, $m=2$ o $m=4$.
También vale si $m=8$, desde entonces, la única cuadrática de los residuos de la $1$, por lo que el grupo de residuos cuadráticos es cíclico. De hecho, se sostiene si $m=2^n$ es una potencia de $2$, el resultado se tiene: debido a que el grupo de unidades del modulo $2^n$ es isomorfo a $C_{2^{n-2}}\times C_2$ (donde $C_k$ es el grupo cíclico de orden $k$), de manera que el grupo de los cuadrados es isomorfo a $C_{2^{n-3}}$, que es cíclico.
Otros ejemplos no triviales de incluir $m=3p^a$ o $m=6p^a$ donde $p$ es una extraña primer y $a\gt 0$, $m=35 = 5\times 7$ (o, más en general, $m=5^a 7^b$); y muchos otros.
Para obtener la respuesta completa, factor de $m$ a de los números primos,
$$ m = p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$$
donde $p_1\lt p_2\lt\cdots\lt p_r$ son los números primos y los $a_r\gt 0$. Por el Teorema del Resto Chino, el grupo de unidades del modulo $m$ es
$$\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)^* = \prod_{i=1}^r \left(\mathbb{Z}/p_i^{a_i}\mathbb{Z}\right)^*.$$
El grupo de unidades del modulo $p_i^{a_i}$ es
- Cíclico de orden $(p_i-1)p_i^{a_i-1}$ si $p_i$ es impar;
- Trivial si $p_i=2$$a_i = 1$;
- Isomorfo a $\displaystyle C_{2^{a_i-2}}\times C_2$ si $p_i=2$$a_i\gt 1$.
El grupo de los cuadrados de los invertible elementos modulo $m$ entonces es isomorfo a un producto de grupos de la forma
- Cíclico de orden $\frac{p_i-1}{2}(p_i^{a_i-1})$ si $p_i$ es impar;
- Trivial si $p_i=2$$a_i\leq 2$;
- Cíclico de orden $2^{a_i-3}$ si $p_i=2$$a_i\geq 3$.
El producto es cíclico si y sólo si las órdenes de los factores cíclicos son pares relativamente primos.
Esto nos da:
Teorema. Deje $m$ ser un entero positivo, y deje $p_1,p_2,\ldots,p_r$ ser las distintas primer divisores de $m$, $p_1\lt p_2\lt\cdots\lt p_r$. Deje $\varphi$ ser de Euler totient función. El subgrupo de los cuadrados de los invertible elementos modulo $m$ es cíclico si y sólo si:
- Para $m$ impar,
- $\displaystyle\gcd\left(\frac{\varphi(p_i^{a_i})}{2},\frac{\varphi(p_j^{a_j})}{2}\right) = 1$ todos los $1\leq i\lt j\leq r$.
- Para$m$, incluso,
- $\displaystyle\gcd\left(\frac{\varphi(p_i^{a_i})}{2},\frac{\varphi(p_j^{a_j})}{2}\right) = 1$ $1\lt i\lt j\leq r$ ; y
- si $2^a$ es el mayor poder de $2$ que divide $m$$a\gt 3$, $p_i\equiv 3\pmod{4}$ todos los $i\gt 1$.
Es muy sencillo ahora a mostrar (por ejemplo, el uso del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas) que hay a $m$ con arbitrariamente muchos distintas primer divisores para que el subgrupo de los cuadrados de las unidades del modulo $m$ es cíclico.
