La serie Taylor de $\sin(x)$ converge uniformemente en $[-\pi,\pi]$ ?

Question

Según mis notas, la serie Taylor de $\sin(x)$ converge uniformemente en $[-\pi,\pi]$ .

Sé que el término restante debe converger uniformemente a $0$ para que este sea el caso.

Pero realmente no sé cómo empezar a demostrar que esta serie converge uniformemente. Creo que es el dominio lo que realmente me confunde. Creo que debería empezar mostrando que el término restante converge a $0$ . Así que tenemos:

$$R_n= \frac{(x-x_0)^{N+1}}{N!}\int_0^1 (1-t)^Nf^{(N+1)}(x_0+t(x-x_0))dt$$

Donde $R_n$ denota el término restante.

¿Qué debo hacer?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dado que todas las derivadas de $\sin(x)$ satisfacer $$|f^{(N+1)}(x)| \le 1$$ para todos $x$ vemos que $$|R_n| \le \frac{|x-x_0|^{N+1}}{N!} \le \frac{(2\pi)^{N+1}}{N!}$$ y el término de la derecha converge a cero independientemente de $x$ . Así podemos concluir que la serie de Taylor converge uniformemente.

Aquí utilizamos que el integrando está limitado en valor absoluto por 1.

Answer 2

Sólo tienes que escribir: $$\sup_{[x_0,x_1]} |R_n| \le \frac{\sup_{[x_0,x_1]}|x-x_0|^{N+1}}{N!} \int_0^1 (1-t)^N\sup_{[x_0,x_1]}|f^{(N+1)}(x_0+t(x-x_0))|dt \\ = \frac{|x_1-x_0|^{N+1}}{N!} \int_0^1 (1-t)^N dt = \frac{|x_1-x_0|^{N+1}}{(N+1)!}\to 0 $$

Esto demuestra que la serie es uniformemente convergente en todo intervalo compacto.