Once estudiantes en dos grupos de cuatro y uno de tres

Question

El problema: hay que dividir a 11 alumnos en 3 grupos, 2 grupos de 4 alumnos y 1 grupo de 3 alumnos. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo?

El orden de los grupos y el orden de los estudiantes en cada grupo no importa

He seguido la fórmula y he obtenido

$ 11!\choose 4! (11-4)!$ * $ 7!\choose 4! (7-4)!$ * $3!\choose 3!(3-3)!$

y pensé que lo había resuelto. Así que nuestro profesor lo hizo en clase después y decidió que debía ser

$11\choose 4$ * $7\choose 4$ * $3\choose 3$ /2

mi pregunta es ¿por qué es /2 al final? ¿es porque hay 2 grupos que son iguales?

¿Podría alguien indicarme la forma correcta de hacerlo? Así lo tengo aclarado.

Gracias

Answer 1

Debería haberse mencionado en la pregunta que los grupos son sin etiquetar es decir, indistinguibles, excepto por el tamaño.

La razón puede ser más clara si consideramos una de esas divisiones
Consideramos que $ABCD\;|\; EFGH | IJK $ y, digamos $EFGH\; |IJK\;|ABCD $ para ser divisiones idénticas.

Utilizando permutaciones, escribiríamos la respuesta como $\;\dfrac{11!}{(4!4!3!)\times(2!)}$

La primera parte del denominador elimina las permutaciones en grupos,
y el $2!$ elimina esos entre grupos indistintos

Por supuesto, podría escribirse como lo ha hecho el libro, es decir. $\binom{11}4\binom7{4}\binom33 /2$

Answer 2

Esta es otra forma de obtener la respuesta: Alinear el $11$ estudiantes de izquierda a derecha. Escoge $3$ de ellos para el grupo de tres, lo que puede hacerse en $11\choose3$ formas. De los alumnos restantes, el más a la izquierda debe ir a un grupo con $3$ del otro $7$ que pueden ser elegidos en $7\choose3$ formas. Así que el número total de formas en que se pueden formar los grupos es

$${11\choose3}{7\choose3}$$

Answer 3

La respuesta requiere el uso de coeficientes multinomiales . Véase, por ejemplo http://mathworld.wolfram.com/MultinomialCoefficient.html para más.

Si tenemos un conjunto de $n$ elementos a dividir en $k$ subconjuntos con $n_1, \ldots, n_k$ respectivamente (donde $\sum^m_{i=1} n_i = n$ ), entonces hay

$$ \binom{n}{n_1, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} $$

formas de hacerlo. El número $\binom{n}{n_1, \ldots, n_k}$ se llama coeficiente multinomial.