Encontrar la inversa de polinomios en diferentes campos

Question

Hola me pregunto si alguien puede ayudarme a entender cómo puedo encontrar la inversa de un elemento en un anillo de cociente

por ejemplo

Sé que $\mathbb{F_{2}}/(<x^3+x+1>)$ es un campo ya que el polinomio es irreducible en $\mathbb{F_{2}}$

Ahora quiero ser capaz de encontrar los inversos ,

por ejemplo decir la inversa de $(x^2+3)$

Mis pensamientos:

Lo escribimos como $x^2+1$ como $3=1$ en este campo ( ¿es válido?)

Entonces traté de hacer $gcd(x^3+x+1,x^2+1)$

para encontrar que $x^{3}+x+1=(x^{2}+1)(x)+1$

y $x^{2}+1=(x+1)(1)$

así que pensé que tal vez podría hacer,,

$1=x^{3}+x+1-(x^{2}+1)(x)$

y $1=-1$ en este campo

así que esto básicamente me dice que $$(x^{3}+x+1)+(1)=(x)(x{^2}+1)$$ y por tanto la inversa de $x^{2}+1$ en este campo es $x$ ?

¿Algo de esto tiene sentido para ustedes? ¿Alguna ayuda? Es muy probable que me equivoque, y me gustaría saber dónde.

Además, me gustaría saber cómo puedo calcular las raíces de otros polinomios en el campo.

Por ejemplo $s^{3}+s^{2}+1$ o $s^{3}+1$

PD: ¿es también un campo con 8 elementos? Porque estoy confundido entonces cómo encontrar las raíces como pensé en el caso de un campo con número primo de elementos que podemos hacer algo como el cálculo de gcd $x^{p}-x$ pero aquí tenemos 8.

Si alguien puede ayudar, se lo agradecería mucho. Tengo un examen mañana y he estado estudiando durante mucho tiempo y hay algunas cosas que parece que no puedo entender.

Gracias

Answer 1

Tu argumento del algoritmo euclidiano es sólido. En efecto, la clase de equivalencia de $x$ es la inversa de la clase de equivalencia de $x^2+1$ .

Si quiere resolver $t^3+t^2+1=0$ en este campo, tenga en cuenta que $x^3=x+1$ y por tanto la clase de equivalencia de $x^2+x$ es una solución.