¿Podríamos definir el producto semidirecto de dos álgebras envolventes universales?

Question

Si tenemos dos álgebras de Lie $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ sobre un campo $k$ y si tenemos un homomorfismo del álgebra de Lie $\mathfrak{g}\rightarrow \text{Der}_k(\mathfrak{h})$ entonces podemos definir el producto semidirecto $\mathfrak{g}\ltimes \mathfrak{h}$ como $k$ -espacio lineal es sólo $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$ y el corchete de Lie viene dado por $$ [(g_1,h_1),(g_2,h_2)]=([g_1,g_2],[h_1,h_2]+g_1\cdot h_2-g_2\cdot h_1). $$

Ahora tenemos las álgebras envolventes universales $U(\mathfrak{g})$ , $U(\mathfrak{h})$ y $U(\mathfrak{g}\ltimes \mathfrak{h})$ . $\textbf{My question}$ es: ¿podríamos formar un producto semidirecto $U(\mathfrak{g})\ltimes U(\mathfrak{h})$ tal que $$ U(\mathfrak{g})\ltimes U(\mathfrak{h})\cong U(\mathfrak{g}\ltimes \mathfrak{h})? $$

Answer 1

Supongo que esto es lo que se suele llamar el producto cruzado de las álgebras de Hopf, restringido al caso de las álgebras de Hopf cocomutativas. El artículo relevante de partida debería ser éste, de Susan Montgomery:

http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-009-2985-2_22

y por supuesto también su libro "Hopf algebras and their actions on rings", para el capítulo en el que trata de los productos cruzados (el enunciado que necesitas debería ser el de la página 110).

Limitándose a la parte del álgebra asociativa se describe en el libro de McConnell-Robson sobre Anillos noetherianos no conmutativos en la página 34: (producto cruzado de un álgebra asociativa a un álgebra envolvente universal, junto con el caso del producto cruzado de dos álgebras envolventes universales).

(La definición de producto cruzado admite una cantidad increíble de generalizaciones, no siempre muy fáciles de tratar, también por la superposición de terminologías: producto smash, producto bismash, etc.)

Answer 2

Podrías echar un vistazo en esta pregunta del modus operandi donde se da la fórmula explícita (dentro de la pregunta, al final).