Definir la norma $N(x)=\sup _{t \in[0,1]}\left|x_{1}+t x_{2}\right|$ en $\mathbb{R}^{2}$ . ¿Cuál es la esfera de la unidad para $N$ ?

Question

Estoy tratando de resolver este problema:

La esfera unitaria es $S = \{(b,a) \in \mathbb R^2 \mid \sup_{t \in [0,1]} |b+ta| = 1\}$ . Dado que la función $f(t)=|b+ta|$ es continua en el conjunto compacto $[0,1]$ , $\sup_{t \in [0,1]} |b+ta| = \max_{t \in [0,1]} |b+ta|$ . Como tal, $$S = \left \{(b,a) \in \mathbb R^2 \,\middle\vert\, \max_{x \in [0,1]} |ax+b| = 1 \right \}$$

Para un determinado $(b,a)\in \mathbb R^2$ , $y=ax+b$ es la ecuación de una recta. Me parece que está muy cerca, pero soy incapaz de continuar.

¿Podría arrojarme algo de luz? Muchas gracias.

Answer 1

Sugiero mirar lo que ocurre en cada cuadrante. Por ejemplo, si $a \geq 0$ y $b \geq 0$ entonces $b \leq b+ta \leq b+a$ y por lo tanto $\sup_{t\in[0,1]} |b+ta| = b+a$ . Por lo tanto, $a+b = 1$ . Si $a \geq 0$ y $b \leq 0$ y, a continuación, de nuevo $b \leq b+ta \leq b+a$ . Pero entonces hay que inspeccionar con más cuidado. O bien $a+b \leq 0$ entonces $\sup_{t\in[0,1]} |b+ta| = |b|.$ Por lo tanto, $b = -1.$ O $a+b \geq 0,$ entonces $\sup_{t\in[0,1]} |b+ta| = \max\{a+b,-b\}.$ Si $a+b \geq -b$ o $a+2b \geq 0$ entonces $\max \{a+b,-b\} = a+b$ y tenemos de nuevo $a+b = 1$ . Por lo demás, $\max\{a+b,-b\} = -b$ y de nuevo tenemos $b = -1$ .

En resumen, para $a \geq 0$ la esfera unitaria se define como $b = -1$ , si $a+2b \leq 0$ y $a+b =1$ de lo contrario.