Número de formas diferentes en las que se pueden colocar enteros positivos en una matriz de tamaño N de forma que el producto de los enteros sea K

Question

Para encontrar el número de formas de colocar enteros positivos en una matriz de tamaño $N$ tal que el producto de los números es $K$ . Así que el problema se reduce a encontrar el número de formas de colocar los factores primos de $k$ en $N$ ranuras. Por ejemplo, si $N = 2$ y $K = 24$

Factores primos de $24$ : $2^3 \times 3^1$

Así que tenemos que encontrar el número de formas de colocar tres 2's y un 3 en 2 ranuras. Vi el problema en los foros de discusión y llegué a saber que esto se puede hacer con el estrellas y barras concepto. Se afirma que el número de formas de colocar tres 2's y un 3 en 2 ranuras es igual a colocar tres 2 en 2 ranuras multiplicadas por la colocación de un 3 en 2 ranuras.

colocando tres 2 en 2 ranuras (estrellas y barras) = $\binom{3+2-1}{3}$ = $\binom{4}{3}$

colocando un 3 en 2 ranuras (estrellas y barras) = $\binom{1+2-1}{1}$ = $\binom{2}{1}$

Así que el número total de formas = $ \binom{4}{3} $ * $\binom{2}{1}$ = 4 * 2 = 8

Las partes que no entendí son

1. cómo el número de formas de colocar tres 2's y un 3 en 2 ranuras es igual a colocar tres 2 en 2 ranuras multiplicadas por la colocación de un 3 en 2 ranuras
2. por qué no podemos aplicar el concepto de estrellas y barras a todos los factores primos como colocar 4 ( tres 2's y un 3) en 2 ranuras.

Answer 1

1. Porque estas opciones son independientes. Puedes dividir los tres pares como $(2\times 2\times 2,-)$ , $(2\times 2, 2)$ , $(2, 2\times 2)$ o $(-, 2\times2\times 2)$ . Puedes poner los tres como $(3,-)$ o $(-,3)$ . Ahora puedes tomar cualquiera de las opciones de dos y combinarla con cualquiera de las opciones de tres, para obtener $4\times 2$ posibilidades. Por ejemplo, si se toma la primera opción para cada uno, se obtiene $(2\times2\times 2\times 3,1)$ (ya que no hay factores de $2$ o $3$ en la segunda ranura), mientras que tomando la tercera y la segunda se obtiene $(2,2\times2\times3)$ .

2. Si colocas cuatro cosas en dos ranuras, hay $5$ maneras de hacerlo, pero esto no distingue que las cosas van donde, sólo cuántas. Así que dividir como tres cosas en la primera ranura sólo se cuenta como una manera por este método, pero en realidad esto podría corresponder a $(2\times2\times2, 3)$ o $(2\times 2\times3,2)$ que son diferentes.