Cada vez que quiero entender un poco más las ideas que subyacen a las técnicas del Grupo de Renormalización, me preocupa el desfase entre la imagen general que se suele presentar (por ejemplo, en libros o reseñas pedagógicas/apuntes de clase) y su aplicación real. Sé que no hay forma de aprender estas técnicas sin trabajar en un problema (o problemas) práctico; sin embargo, me parece que hay tantas ideas y conceptos detrás de los problemas en los que se utilizan estas técnicas, que a veces es difícil entender a dónde intentan llegar o demostrar estos cálculos. En este sentido, estaría bien tener un esbozo de cuál o cuáles son los problemas que se intentan resolver y cuáles son algunas técnicas para lograrlo.
Permítanme elaborar un poco más con lo que entiendo es la imagen más común de la RG tal y como la presentan los libros. Queremos estudiar objetos de la forma: $$Z[g] = \int D\phi e^{-S[\phi,g]} \tag{1}\label{1}$$ donde la acción $S$ se supone que es una especie de perturbación de una gaussiana; aquí el $g$ denota un conjunto de parámetros de acoplamiento de la teoría. Dado que ( \ref {1}) se supone que es una perturbación de una gaussiana, lo reescribiré como $$Z[g] = \int d\mu_{C,\alpha}(\phi)e^{-G[\phi,g]} \tag{2}\label{2}$$ para alguna medida gaussiana $\mu_{C}$ con covarianza $C$ que también se supone que tiene alguna dependencia del parámetro de acoplamiento en $\alpha$ . Para que las cosas se comporten mejor, asumo que estamos trabajando con tiempo imaginario (QFT euclidiana), por lo que $Z$ tiene la interpretación natural de la función de partición del modelo subyacente.
Resulta más conveniente estudiar el siguiente objeto: $$Z[\varphi;g] = \int d\mu_{C,\alpha}e^{-G[\phi+\varphi,h]} \tag{3}\label{3}$$ en lugar de ( \ref {2}). Si suponemos $C$ puede descomponerse como: $$C = C_{1}+C_{2} \tag{4}\label{4}$$ entonces, ( \ref {3}) se convierte en: $$Z[\varphi;g] = \int d\mu_{C_{1},\alpha_{1}}(\phi_{1})\int d\mu_{C_{2},\alpha_{2}}(\phi_{2})e^{-G[\phi_{1}+\phi_{2};g]} \equiv \int d\mu_{C_{1},\alpha_{1}}(\phi_{1})e^{-G'[\phi_{1}+\varphi;g]} \tag{5}\label{5}.$$ Reescalado ( \ref {5}) obtenemos: $$Z[\varphi;g] = \int d\mu_{C,\tilde{\alpha}}(\phi_{1})e^{-G'[\phi_{1}+\varphi;g]} \tag{6}\label{6}$$ que tiene la misma forma de ( \ref {3}). La transformación del Grupo de Renormalización es el mapa $\mathscr{R}: G \to G'$ .
Ahora vienen los problemas más prácticos que quería discutir. Si el objeto de estudio deseado es ( \ref {3}) y si estamos interesados en el comportamiento crítico, me parece natural estudiar el mapa $\mathscr{R}$ y buscar un punto fijo. Sé que esto puede ser difícil en la práctica, y me parece que esto es normalmente no lo que se estudia en la práctica. Y este es el problema central para mí: si es difícil y no es lo que la gente hace en realidad, entonces ¿cuál es el objetivo?
Algunas referencias hablan de la llamada perturbación RG, que consiste en ampliar el término $e^{-G}$ en series de potencias formales e intentar demostrar que la serie converge o que cada término de la expansión es finito. Probar que la serie de potencias converge demuestra que, bajo ciertas condiciones, ( \ref {3}) está bien definida matemáticamente hasta donde yo sé. Y por supuesto, para demostrar esta convergencia es importante demostrar que cada término de la serie es finito. Sin embargo, no sé si esta es la justificación correcta para tales cálculos, ya que me parece una cuestión puramente matemáticas justificación, más que una físico uno. Además, no veo por qué probar estos límites nos lleva a un resultado práctico: en el cuadro general presentado anteriormente, estaba muy claro que la idea era evaluar $Z$ Pero cuando se evalúan los límites no me queda tan claro cuál es el objetivo. ¿Quizás evaluar los decaimientos de la función de correlación de dos puntos?
En resumen, me gustaría entender cuáles son los problemas, en la práctica, con el cuadro general que se suele presentar de forma abstracta como se ha comentado anteriormente y cómo ayuda a entender lo que uno realmente hace en una actividad de investigación. Además (y más importante) qué se busca en un problema de investigación típico? ¿Cuáles son los objetos de interés, una vez obtenida una forma explícita para $Z$ parece fuera de alcance?
Observación: Los ejemplos son bienvenidos para aclarar las ideas principales.
