Hace $Z=X+Y$ implica $Z-Y=X$ cuando $X,Y,Z$ ¿son variables aleatorias?

Question

Recientemente estuve trabajando en la prueba de otra persona que involucra procesos gaussianos $\{X_t\}_{t\in\mathbb{N}}$ y $\{\epsilon_t\}_{t\in\mathbb{N}}$ , donde $\epsilon_t$ era ruido gaussiano iid y $X_t$ era un paseo aleatorio:

$$ X_t = X_{t-1} + \epsilon_t $$

y otro proceso $\{Z_t\}_{t\in\mathbb{N}}$ se definió como

$$ Z_t = X_t + \phi_t $$

con $\phi_t$ otra fuente de ruido gaussiano iid. En su prueba, comenzaron con la primera ecuación anterior e hicieron la sustitución $X_{t-1} = Z_{t-1} - \phi_{t-1}$ para conseguir

$$ \begin{align} X_t &= X_{t-1} + \epsilon_t \\ X_t &= (Z_{t-1} - \phi_{t-1}) + \epsilon_t &&(*) \end{align} $$

Y eso parece perfectamente bien. Pero tengo lo que se siente como una pregunta muy estúpida. Era ¿es válida esa sustitución? Si no es así, ¿qué supuestos la hacen válida?

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Lo pregunto porque llegaron a un resultado incorrecto, que es la razón por la que estaba trabajando en la prueba en primer lugar, y no pude encontrar ningún error en ninguna parte. Así que ahora estoy probando incluso mis suposiciones más básicas. He intentado resolver esto por mi cuenta, pero no estoy seguro.

El siguiente ejemplo es el que me hace dudar de si la sustitución era realmente válida, pero sospecho que estoy cometiendo un error de base. Dejemos que $X$ y $Y$ ser r.v. con

$$ X= \begin{cases} -1, p=0.1\\ 1, p=0.9 \end{cases} $$

$$ Y= \begin{cases} -1, p=0.5\\ 1, p=0.5 \end{cases} $$

Entonces

$$ Z=X+Y = \begin{cases} -2, p=0.05\\ 0, p=.5 \\ 2, p=0.45 \end{cases} $$

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero parece que la r.v. $Z-Y$ puede tomar valores en $\{\pm 1, \pm 3\}$ . Así que $Z-Y \neq X$ . Y podemos concluir que $Z=X+Y$ no implica necesariamente $X=Z-Y$ y no podemos hacer la sustitución en $(*)$ . ...Pero eso me parece muy incorrecto, y agradecería mucho que me señalaran mis errores.

Answer 1

No estoy seguro de que esta sea una respuesta completa (porque yo también estoy un poco confundido), pero tu pregunta parece depender de si la variable aleatoria $$ X + Y - Y$$ es la misma que la variable aleatoria $X$ (es decir, "tiene la misma distribución que").

Y creo que esto se debe a cierta ambigüedad con la forma en que escribimos las variables aleatorias. Si usas la misma letra dos veces, no podemos saber si te refieres a la muestra idéntica extraída de esa misma variable, o a una nueva instancia de una variable diferente con la misma distribución.

En la primera parte de su pregunta, cuando escribieron $X_{t-1} = Z_{t-1} - \phi_{t-1}$ Parece que la intención era que $\phi_{t-1}$ significaba lo mismo $\phi_{t-1}$ utilizado para definir $Z_{t-1}$ Por lo tanto, la anulación era válida. Pero en la segunda parte, donde escribió $Z-Y$ , estabas "reintegrando" $Y$ es decir, obtener valores de una instancia diferente, aunque idénticamente distribuida, de $Y$ y así $Y - Y \ne 0$ .

(Si programas en C++, existe una analogía con la asignación de un puntero frente a la llamada a un constructor de copia, pero no merece la pena entrar en ello si esos términos no tienen un significado inmediato para ti).

Answer 2

Esta respuesta puede dar lugar a críticas debido a su incorrección técnica, sin embargo creo que es claramente más correcta que la única respuesta actual y estoy feliz de eliminarla cuando haya una respuesta mejor.

Cuando se trabaja con probabilidades, se suele definir un espacio de probabilidad $(\Omega, \Sigma, \mathbb P)$ donde $\Omega$ representa el universo, $\Sigma$ es un conjunto que contiene subconjuntos de $\Omega$ (técnicamente se supone que es un $\sigma$ -) y $\mathbb P$ es un mapeo de $\Sigma$ a $[0,1]$ que satisface varias propiedades.

La confusión aquí es que una variable aleatoria se define como un mapeo de $\Omega$ a algún conjunto (de nuevo faltan algunos tecnicismos más aquí) y no en términos de su distribución de probabilidad, de hecho no hay dependencia de $\mathbb P$ . Así que cuando tratamos con una variable aleatoria real $X$ y $Y$ nos referimos a tener mapeos $\omega\to X(\omega)$ y $\omega\to Y(\omega)$ ahora la suma de estos es también un mapeo de $\Omega$ a $\mathbb R$ tal que $\omega\to X(\omega)+Y(\omega)$ . Restando $Y$ es de nuevo un mapeo definido por $\omega\to X(\omega)+Y(\omega)-Y(\omega)=X(\omega)$ por lo que tenemos que $X+Y-Y=X$ y todo esto es independiente de la distribución de probabilidad (que son funciones de $\mathbb P$ ).

Espero que esto aclare un poco, soy consciente de algunas cosas que faltan. Sugeriría leer la página de Wikipedia de variables aleatorias y espacios de probabilidad para obtener la definición clara (y menos discutible), esto puede tomar un poco de tiempo sin embargo.