Pregunta de desigualdad sobre la media y el exponente

Question

He visto que esto se da por sentado en otro post:

Sabemos que $$\frac{\sum_{1\le r\le n}a_r^m}n> \text{ or } <\left(\frac{\sum_{1\le r\le n}a_r}n\right)^m$$ según $m$ miente o no miente en $(0,1)$ .

¿Cómo lo sabemos? Gracias.

Answer 1

Creo que es el desigualdad de la media del poder, que establece que, si el $a_k > 0$ , entonces $$M_p(a) =\left(\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k^p\right)^{1/p} $$ es una función creciente de $p$ .

Así que, ya que $M_1(a) =\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k $ , si $p < 1$ , $\left(\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k^p\right)^{1/p} < \frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k $ , o $\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k^p < \left(\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)^p $ .

La desigualdad inversa es válida para $p > 1$ .