¿Por qué una distribución uniforme en un conjunto acotado no es subgaussiana?

Question

En High Dimensional Probability, de Vershynin, hay un ejercicio que pide demostrar que la distribución uniforme en la $l_1$ bola de radio $n$ , $X \sim {Unif} \{x \in \mathbb{R}^n : ||x||_1 <= n\}$ no es subgaussiano. Sin embargo, como este conjunto está acotado, todos los marginales $\langle X,x \rangle$ debería estar acotado, por lo que no debería ser $X$ ¿Subgaussiano? De hecho, por Cauchy-Schwartz, $||X||_{\psi_2}$ debe ser inferior a $\sup_{x \in K} ||x||_2$ si $K$ está acotado.

¿Dónde falla mi razonamiento?

Answer 1

Comprueba la última versión del libro (está en su página web), ha corregido este problema en la última versión. Ahora se le pide "Demuestre que la norma subgaussiana de esta distribución no está limitada por una constante absoluta a medida que crece la dimensión n". Este argumento no tiene nada de malo.

Pero lo que vale la pena notar es que necesitas tener un límite más fino en el caso de que tus límites en $\langle X,x \rangle$ depende de $n$ . Porque la norma orcliz puede no crecer como la dimensión $n$ y el tamaño del cuerpo convexo crece. Como en el caso de que $X\sim \text{Unif}(\sqrt{n} S^{n-1})$ necesitas un mejor encuadre para ello. Pero si sólo está interesado en Unif $(S^{n-1})$ (digamos), usar la acotación debería estar bien.