¿Es $(2,1) , (4,1)$ una base para $\Bbb Z \times \Bbb Z$?

Question

¿Es $(2,1) , (4,1)$ una base para $\Bbb Z \times \Bbb Z$?

Estoy estudiando grupos abelianos libres. Primero mostré que para cualquier $n_1, n_2 \in \Bbb Z$ $$n_1(2,1)+n_2(4,1)=0 \\ \Updownarrow \\ n_1=n_2=0$$

Pero para ser una base tengo que demostrar que el conjunto es un conjunto generador. Trabajé pero no pude encontrar que genere $\Bbb Z \times \Bbb Z$. Pero ¿cómo podría probar que no genera $\Bbb Z\times \Bbb Z$. Este problema me confunde.

Answer 1

Para que $(2,1);(4,1)$ sea una base, debe ser capaz de generar cada elemento en el conjunto $\Bbb Z\times \Bbb Z$. Si podemos encontrar un elemento que no puede generar entonces podemos concluir que no es una base.

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Supongamos que podemos generar $(3,1)$.

Por lo tanto, tenemos $$(3,1)=a(2,1)+b(4,1)$$

Es decir, \begin{align}3&=2a+4b\\ 1&=a+b\end{align}

Entonces, podemos decir \begin{align}3&=2(1-b)+4b\\ 3&=2-2b+4b\\ 1&=2b\\ b&=\frac 12\\ &\Downarrow\\ a&=1-\frac 12\\ &=\frac 12\end{align}

Sin embargo, estamos trabajando en los enteros, por lo que no podemos tener $\frac12(2,1)=\left(1,\frac 12\right)$ o $\frac 12(4,1)=\left(2,\frac12\right)$ así que tenemos una contradicción

Answer 2

Sea $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$ Ahora tienes que encontrar que existen $n_1$ y $n_2$ enteros tales que $n_1(2,1)+n_2(4,1) = (x,y).$ Por Cramer tienes $n_1= \frac{x-4y}{-2}$ y $n_2 = \frac{2y-x}{-2}$ Entonces si eliges $x$ impar esos enteros no existen.