Encuentre todos $p, q$ (coprima) tal que $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$ es un número primo

Question

Encuentre todos $p, q$ (coprima) tal que $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$ es un número primo.

Encontré que $(p,q) = (2,7),(7,2),(2,15),(3,8)$ dio números primos para $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$ Pero, ¿cómo podemos encontrarlo todo?

Answer 1

Supongamos que $p,q \ge 3$ . Obsérvese que uno de los $p-1$ o $q-1$ debe ser par (para $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$ sea un número entero) por lo que uno de $p$ o $q$ debe ser impar. Si $p$ es impar entonces $\frac{(p-1)}{2} \cdot (q-1)$ no es primo a menos que $\frac{p-1}{2}$ es $1$ es decir $p=3$ . Esto nos permite deducir que si $(p,q)$ es una solución, con $p,q \ge 3$ entonces es de la forma $(3,n+1)$ (o $(n+1,3)$ ) para algunos $n$ de primera.

Si uno de $p,q$ es menor que $3$ entonces (ya que ninguno de los dos puede ser $1$ ) uno de $p,q$ debe ser igual a $2$ . Si este es el caso, entonces la solución $(p,q)$ es de la forma $(2,2n+1)$ (o $(2n+1,2)$ ) para $n$ de primera.

Editar: Para el caso $p,q\le 0$ entonces podemos escribir $$\frac{(p-1)(q-1)}{2}=\frac{((2-p)-1)((2-q)-1)}{2}.$$

A continuación, puede utilizar la respuesta al caso positivo para obtener su resultado.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Partiendo de la posibilidad de que el resultado sea $2$ necesitamos $(p-1)(q-1)=4$ , dando $3$ opciones iniciales: $(p,q)= \{(2,5),(3,3),(5,2)\}$ . Sin embargo, $p=q=3$ viola el requisito de la coprima $p,q$ , por lo que sólo el $2$ optinos para obtener el primo resultante $2$ .

En caso contrario, el resultado es un primo impar $r>2$ y necesitamos $(p-1)(q-1)=2r$ . Entonces podemos tener $(p,q) = \{(2,2r+1),(3,r+1), (r+1,3),(2r+1,2)\}$ . El primero y el último serán válidos para todos los $r$ pero las dos opciones del medio requieren que $3 \nmid r+1$ . Así que los primos $r \equiv 2 \bmod 3 $ tienen $2$ opciones, y todos los demás primos tienen $4$ opciones.

Answer 3

Si $p, q$ son coprimos entonces a lo sumo uno es par. Wolog $q$ es impar y $q-1$ está en paz.

Así que $(p-1)\frac{q-1}2$ es primo. Por lo tanto, o bien $p-1 = \pm 1$ o $\frac {q-1}2 = \pm 1$ .

Caso 1: $p-1 = -1$

Si $p-1 = -1$ entonces $p = 0$ y $0$ no es coprima de nada excepto $\pm 1$ . (Todo divide a 0) por lo que $q = \pm 1$ . $\frac {1-1}2 = 0$ no es primo por lo que $q = -1$ y $\frac {q-1}2 = -1$ y ... $ (p-1)\frac{q-1}2=1$ no es primo.

Caso 2: $p-1 = 1$

Así que $p = 2$ y $\frac {q-1}2 $ es primo. Así que $q = 2k + 1$ para cualquier primo. Es decir, que $k$ sea primo, el $\gcd(2, 2k+1) =1$ y $\frac{(2-1)(2k+1 -1)}2 = k$ es primo.

Caso 3: $\frac {q-1}2 = -1$

$q = -1$ y $p= k + 1$ para cualquier primo, es decir $\gcd(k+1,-1)=1$ y $\frac{(k+1-1)(-1 -1)}2 = -k$ es primo.

Caso 4: $\frac{q-1}2=1$

$q = 3$ y $p = k +1$ para cualquier primo $k=3$ o $k \equiv 1 \mod 3$

Así que las opciones son $(2,2k+1)$ para cualquier primo $k$ .

$(-1, k+1)$ para cualquier primo.

$(3,4)$ y $(3,k+1)$ para cualquier primo de la forma $k \equiv 1 \mod 3$ .