Evaluar el límite $\lim_{t\to0+}{(\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}})(\sqrt{t+1}-1)}$

Question

El problema: $\lim_{t\to0+}{(\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}})(\sqrt{t+1}-1)}$

Tengo dificultades para resolver este problema. Estos son mis pasos:

$\lim_{t\to0+}{(\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}})(\sqrt{t+1}-1)}$
\= $\lim_{t\to0+}{\frac{(\sqrt{t}+t)(\sqrt{t+1}-1)}{t\sqrt{t}}}$ (Para cumplir la condición del Reglamento de l'hôpital)

Esto es en un $\frac{0}{0}$ forma.

$\frac{d}{dy}(\sqrt{t}+t)(\sqrt{t+1}-1)$
\= $(\frac{1}{2\sqrt{t}}+1)(\sqrt{t+1}-1)+(\sqrt{t}+t)(\frac{1}{2\sqrt{t+1}})$
$\frac{d}{dy}t\sqrt{t}=\frac{t}{2\sqrt{t}}+\sqrt{t}=\frac{3}{2}\sqrt{t}$

\= $\lim_{t\to0+}{\frac{\frac{d}{dy}(\sqrt{t}+t)(\sqrt{t+1}-1)}{\frac{d}{dy}t\sqrt{t}}}=\frac{0}{0}=0$

Mientras que la solución da $\frac{1}{2}$ en lugar de 0.

He hecho el cálculo una y otra vez, pero sigue siendo difícil averiguar dónde me he equivocado.

¿Hay alguien que pueda ayudarme? ¡¡Gracias de antemano!!

Answer 1

SUGERENCIA: $$ \lim_{t\to0+}{\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\right)(\sqrt{t+1}-1)} =\lim_{t\to0+}{\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\frac{t}{\sqrt{t+1}+1}} $$ ¿Ahora ves el límite?

Answer 2

Observe que $1/\sqrt t$ es despreciable frente a $1/t$ y se puede dejar caer. A continuación,

$$\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}=\frac1{\sqrt{1+t}+1}\to\frac12.$$

Answer 3

Transformemos un poco la expresión:

$$\left(\frac 1t+\frac 1{\sqrt t}\right)(\sqrt{t+1}-1) \\ = \frac{1+\sqrt t}t(\sqrt{t+1}-1) \\ = \frac{1+\sqrt t}t\cdot\frac t{\sqrt{t+1}+1} \\ = \frac{1+\sqrt t}{\sqrt{t+1}+1}$$

Ahora para $t\to0$ tenemos

$$\frac{1+\sqrt t}{\sqrt{t+1}+1} \to \frac{1+0}{\sqrt{0+1}+1} = \frac 1{1+1}=\frac 12.$$