¿Es el valor absoluto un círculo unidimensional?

Question

Un círculo es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia r de un punto dado en un plano (dos dimensiones). Del mismo modo, una esfera es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia r de un punto dado en un espacio tridimensional.

Sé que en ambos casos, los elementos del conjunto (los puntos que componen el círculo o la esfera) son infinitos. Digamos, por ejemplo en un círculo, que puedes coger un punto de la curva que esté exactamente a 60º, y coger otro a 61º, pero también puedes coger uno más entre 60º y 61º (60,5º). Puedes hacer un bucle infinito (uno entre 60° y 60,5°, que está a 60,25°; otro entre 60,5° y 60,25°, a 60,125°, y así sucesivamente...). PERO Si nos limitamos a un espacio unidimensional (una línea), sólo habría DOS puntos que satisfacen la condición, y que resulta ser el valor absoluto de un número.

...¿o me equivoco?

Answer 1

Existe una biyección entre seminormas sobre un espacio vectorial y conjuntos convexos absorbentes simétricos respecto a cero. (Véase Wikipedia aunque el artículo no es muy bueno).

( $A$ es convexo si cada punto $z$ en el segmento de línea que une dos puntos $x,y \in A$ satisface $z \in A$ . Absorber significa que dado cualquier $x$ en el espacio, hay un número $a$ tal que $x/a \in A$ . Simétrico sólo significa $x \in A \iff -x \in A$ .)