Encontrar la matriz de rotación y traslación

Question

He leído un artículo sobre un algoritmo propuesto para calibrar una cámara para los parámetros intrínsecos y extrínsecos.

El primer paso del algoritmo consiste en estimar la rotación y la traslación de la cámara con respecto a la cuadrícula de prueba, lo que puede expresarse de la siguiente manera

El autor propone entonces que después de resolver un conjunto sobredeterminado de ecuaciones lineales, se obtiene un conjunto de 5 relaciones a partir de las cuales se puede obtener completamente la matriz de rotación y traslación.

A menos que me esté perdiendo algo, no puedo entender cómo. Un poco de ayuda \pointers ¿Por favor?

P.D.

Sé que me dirigen a otro artículo, pero ahora mismo estoy fuera de mi presupuesto para comprarlo, y supongo que la solución a mi pregunta es relativamente sencilla.

EDITAR: Deduzco de lo que escribió el autor que sugiere que las 6 incógnitas de las 5 relaciones se pueden resolver porque 4 de las 6 son elementos de la misma matriz de rotación, que dependen todos de los mismos 3 ángulos de rotación - lo que significa que puedes sustituir los 4 elementos de rotación desconocidos por 3 ángulos desconocidos, lo que te da 5 incógnitas para 5 ecuaciones.

La típica búsqueda en Google nos trajo lo siguiente Creo que para ser un modelo estándar de la matriz de rotación que depende de 3 ángulos de rotación (¿puede alguien verificar esto?):

¿Es esta la dirección correcta? ¿Hay alguna forma de obtener los 3 ángulos de rotación a partir de este modelo y las ecuaciones de (8)?

Answer 1

En la ecuación anterior (8), el autor elige obviamente $Z_W=0$ . Entonces $$x(r_{21}X_W+r_{22}Y_W+t_y)=y(r_{11}X_W+r_{12}Y_W+t_x)\\ xt_y=yr_{11}X_W+yr_{12}Y_W+yt_x-xr_{21}X_W-xr_{22}Y_W\\ x=yX_Wr_{11}/t_y+yY_Wr_{12}/t_y+yt_x/t_y-xX_Wr_{21}/t_y-xY_Wr_{22}/t_y \ (*)$$

Esta última ecuación se cumple (aproximadamente) para cualquier $(x,y,X_W,Y_W)$ puntos de control. Suponiendo que todo sea perfecto, se obtiene un $5\times5$ matriz tomando cualquier $5$ puntos de control, y esa matriz es invertible si los puntos son independientes. Se multiplica (8) a la izquierda por la inversa, y se obtiene el vector de $r_{11}/t_y, ...$

En realidad sus medidas no son perfectas, así que hace muchas (más de 5). La ecuación (*) se convierte en $x_i=y_iX_{Wi}r_{11}/t_y+y_iY_{Wi}r_{12}/t_y+y_it_x/t_y-x_iX_{Wi}r_{21}/t_y-x_iY_{Wi}r_{22}/t_y$ , donde $i$ toma valores de $1$ a $n$ . Lo que se quiere en este problema es elegir los valores de $r_{11}/t_y, ...$ que hacen que toda esta ecuación casi sea cierto. El enfoque de mínimos cuadrados significa que se minimiza $$S=\sum_i(y_iX_{Wi}r_{11}/t_y+y_iY_{Wi}r_{12}/t_y+y_it_x/t_y-x_iX_{Wi}r_{21}/t_y-x_iY_{Wi}r_{22}/t_y-x_i)^2$$
Para ello, tienes cinco ecuaciones como $$\frac{\partial S}{\partial (r_{11}/t_y)}=0$$ y similares, para todas sus variables. La ecuación anterior se convierte en $$\sum_i(2 y_iX_{Wi})(y_iX_{Wi}r_{11}/t_y+y_iY_{Wi}r_{12}/t_y+y_it_x/t_y-x_iX_{Wi}r_{21}/t_y-x_iY_{Wi}r_{22}/t_y-x_i)=0$$ o $$r_{11}/t_y\sum_i y_i^2X_{Wi}^2+r_{12}/t_y\sum_iy_i^2X_{Wi}Y_{Wi}+t_x/t_y\sum_i y_i^2X_{Wi}-r_{21}/t_y\sum_i x_iy_iX_{Wi}^2-r_{22}/t_y\sum_i x_iy_iX_{Wi}Y_{Wi}-\sum_i x_i y_iX_{Wi}=0$$ Al escribir todas las ecuaciones, se obtiene un sistema lineal simple de cinco ecuaciones con cinco incógnitas.