¿Para qué valor(es) de $k$ Si es así, ¿el sistema no tendrá a) ninguna solución b) una solución única c) infinitas soluciones?
$$kx + 2y = 3$$ $$2x - 4y = -6$$
Sé cómo obtener la respuesta a (c), tengo cuando $k = -1$ .
No tengo ni idea de los otros dos problemas.
Reescribe tu segunda ecuación como sigue: $$2(x - 2y) = 2\cdot(-3),$$ que puede simplificarse a $$x - 2y = -3.$$
Añadiendo $kx + 2y = 3$ obtenemos $$(k + 1)x = 0.$$ En consecuencia, si $k = -1$ entonces hay infinitas soluciones.
Si $k \neq -1$ entonces $k + 1 \neq 0$ lo que implica que $x = 0$ . En consecuencia, $y = 3/2$ para que $(0, 3/2)$ es la única solución.
Ahora, supongamos que $k = 0$ . Entonces, a partir de la primera ecuación tenemos $y = 3/2$ y, por lo tanto, obtenemos $x = 0$ de la segunda ecuación.
Así que cuando $k = 0$ o $k \neq -1$ existe la solución única $(x, y) = (0, 3/2)$ .
El sistema de dos ecuaciones lineales (en el tres incógnitas $k$ , $x$ y $y$ ) tendrá no hay solución si las líneas que representan sus gráficos son en paralelo pero no coinciden .
Por lo tanto, los escribimos en forma de intersección de pendientes: $$y = -(k/2)x + 3$$ $$y = (1/2)x + 3$$
Igualando las pendientes, obtenemos $k = -1$ . Para este valor de $k$ Las dos líneas son paralelas. Además, para que el sistema no tenga soluciones, las dos líneas deben no se cruzan . Desde $k = -1$ siempre da el punto de intersección $(x, (1/2)x + 3)$ para todos $x$ se deduce que el sistema siempre tiene una solución para todo k .
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