Prueba del Teorema de Ado

Question

¿Podría alguien decirme qué me falta en el siguiente argumento? O bien mi comprensión del enunciado exacto del teorema de Ado es errónea, o bien hay un fallo en mi argumento a continuación.

Para un álgebra de Lie de dimensión finita ${\bf g}$ considere la representación adyacente $\phi:{\bf g}\rightarrow {\bf gl}\left({\bf g}\right); \phi\left(X\right)={\bf ad}_X$ . Tenemos $\ker\left(\phi\right)={\cal z}\left({\bf g}\right)$ el centro de ${\bf g}$ , por lo que podemos pensar en ${\bf g}$ como la suma directa $\left({\bf g} / {\cal z}\left({\bf g}\right)\right) \bigoplus {\cal z}\left({\bf g}\right)$ del álgebra de Lie de matrices pequeñas y el centro ${\cal z}\left({\bf g}\right)$ . Pero entonces, supongamos que el centro es m-dimensional; dado que es abeliano puede representarse como el álgebra de $m\times m$ matrices diagonales. Así que toda el álgebra de Lie se puede realizar como el álgebra de matrices diagonales en bloque de la forma:

$\left(\begin{array}{cc}{\bf ad}_X & {\bf 0} \\\\ {\bf 0} & {\bf \Lambda}\end{array}\right)$

donde ${\bf \Lambda}$ es un $m\times m$ matriz diagonal.

Answer 1

Tu argumento falla porque el soporte puede (a veces) llevar pares de elementos al centro. Por tanto, la suma directa como espacios vectoriales no es necesariamente una suma directa de álgebras de Lie. Para las álgebras de Lie nilpotentes, como el álgebra de Heisenberg, no se puede hacer la afirmación sobre la forma diagonal de los bloques.