Demostrando que $\int_0^{2\pi}\frac{ 1-a\cos\theta}{1-2a\cos\theta + a²} \mathrm d\theta = 0$ para $|a|>1$

Question

Dejemos que $|a|>1$ . Demostrar que $$\int_0^{2\pi}\frac{ 1-a\cos\theta}{1-2a\cos\theta + a²} \mathrm d\theta = 0$$

Yo también estoy tratando de resolver este problema. No estaba seguro de si debía iniciar un nuevo hilo o contribuir a las preguntas anteriores sobre esta integral.

Tengo algunas ideas de que podríamos hacer algo así

$$ -i \oint _{|z|=1} \frac{1-az}{(z-2a) }dz = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \frac{1-a e^{i\theta}}{e^{i\theta}-2a } e^{i\theta}d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \frac{1-a e^{i\theta}}{1-2ae^{-i\theta} }d\theta \quad (2)$$

Entonces tenemos que la parte real de $(2)$ es casi igual a la integral deseada, excepto por la $a^2$ en el denominador.

Una desigualdad a la derecha para la integral deseada se da entonces a partir de la parte real de $(2)$ . Todo lo que queremos encontrar es una desigualdad a la izquierda para la integral deseada. Que con suerte y fácilmente se puede calcular con la ayuda de

$$ \oint _{|z-z_0|=r}(z-z_0)dz = \frac{0 \quad n \neq -1}{2\pi i \quad n = -1} $$

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

El enfoque estándar del análisis complejo consiste en hacer la sustitución $z = e^{i\theta}$ . Esto mapeará $[0,2\pi]$ en el círculo unitario atravesado una vez en sentido contrario a las agujas del reloj. Usando las fórmulas de Euler, $$ \cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2 = \frac{z+z^{-1}}{2}.$$ También tenemos $dz = ie^{i\theta}\,d\theta$ es decir $$d\theta = \frac1{iz}dz.$$

Haciendo todo esto obtenemos \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{ 1-a\cos\theta}{1-2a\cos\theta + a^2} d\theta &= \int_{|z| = 1} \frac{ 1-a(z+z^{-1})/2}{1-a(z+z^{-1})+ a^2} \cdot \frac{1}{iz} dz \\ &= \frac1{2i} \int_{|z| = 1} \frac{2z- a(z^2+1)}{z(z-a(z^2+1)+ a^2z)} dz. \end{align}

Tenga en cuenta que $z(z-a(z^2+1)+ a^2z) = z(1-az)(z-a)$ por lo que el integrando tiene polos simples en $z = 0$ , $z = a$ y $z = 1/a$ .

Si $|a| < 1$ obtenemos \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{ 1-a\cos\theta}{1-2a\cos\theta + a^2} d\theta &= \pi \left( \operatorname{Res}\limits_{z=0} \frac{2z- a(z^2+1)}{z(1-az)(z-a)} + \operatorname{Res}\limits_{z=a} \frac{2z- a(z^2+1)}{z(1-az)(z-a)} \right) \\ &= \pi \left( \frac{-a}{-a} + \frac{2a- a(a^2+1)}{a(1-a^2)} \right) \\ &= \pi ( 1 + 1 ) = 2\pi. \end{align}

Dejaré el caso $|a| > 1$ para ti.

Answer 2

No estoy seguro de que hayas expresado las cosas correctamente, pero puedo decirte la mejor manera de trabajar con un integrando de este tipo. Básicamente, $$\frac{1-a\cos \theta}{1-2a\cos\theta + a^2}=\text{Re}\left(\frac{z}{z-a^2}\right)$$ cuando $z=a e^{i\theta}$ por lo que debe elegir el círculo de radio $a$ centrado en el origen como su contorno para realizar la integración. Esto debería ayudarte a responder cualquier otra pregunta que tengas sobre este tipo de integrales.

Answer 3

Editar: Se han impuesto condiciones a $a$ que eliminan los contraejemplos de abajo.

No se ha dicho nada sobre $a$ . Si $a$ es real y pequeño en valor absoluto, entonces el integrando es positivo, por lo que la integral no puede ser $0$ .