Ecuación diferencial de segundo orden dada la forma de la solución

Question

Consideremos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: $\frac{d^2 u}{dr} + \frac{N-1}{r}\frac{du}{dr} + \frac{\lambda}{r^2}u = 0$ en $(0,1)$ , donde $\lambda = 1+\frac{1}{4}(N-2)^2$ y $N = 1,2,3$ . Encuentra todas las soluciones que tengan la forma $u(r) = r^{-\frac{N-2}{2}}v(log(r))$ . Sugerencia: hacer el cambio de variable $t = log(r)$ para $r \in (0,1)$ y encontrar la EDO que $v(t) = v(log(r))$ resuelve.

No entiendo si tengo que encontrar realmente las soluciones a mano como si no conociera su forma o si tengo que utilizar la información de la forma de la solución y sustituir dentro de la EDO la solución genérica $u(r)$ para verificar la identidad (supongo que esto último). ¿Y qué significa encontrar la EDO que se resuelve con $v(t) = v(log(r))$ ¿como si para esa función existiera una única EDO que tuviera como solución dicha función?

Mi primera idea fue calcular la primera y segunda derivada de $u(r) = ...$ sin hacer el cambio de variable, y luego sustituir $u(r), \frac{du}{dr}(r), \frac{d^2(u)}{dr}(r)$ dentro de la EDO por lo que debería obtener una identidad pero... ¿tiene sentido? Una vez que los he sustituido dentro de la EDO ¿qué debo hacer? Una cosa que he leído es que una EDO como la de arriba se puede escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, pero no puedo averiguar cómo transformar ésta en particular, si sólo el término $\frac{\lambda}{r^2}u$ no estaba presente creo que hubiera sido fácil. ¿Qué sugieres?

El ejercicio continúa pidiendo encontrar la solución exacta con los valores finales $u(1)=1$ y $\frac{du}{dr}(1) = 1$ pero creo que una vez conocidas las soluciones generales, sólo es cuestión de sustituir. Por ahora si trato de sustituir $r=1$ dentro de $u(r) = r^{-\frac{N-2}{2}}v(log(r))$ Sólo puedo concluir que $log(r=1)=0$ y eso es todo, porque no conozco la función $v(t)=v(log(r))$ .

Gracias por leer y por cualquier tipo de ayuda o sugerencia.

Answer 1

El cambio de variable es un poco complicado porque hay que utilizar la regla de la cadena para las segundas derivadas. Sea $U(t) = u(r(t))$ con $r(t) = e^t$ . Aplicando la regla de la cadena dos veces, $$ U'(t) = u'(r(t))r'(t) = u'(r(t))e^t $$ y $$ U''(t) = u''(r(t)) (r'(t))^2 + u'(r(t)) r''(t) = u''(r(t))e^{2t} + u'(r(t))e^t. $$ La primera ecuación equivale a $$ \frac{du}{dr} = e^{-t} \frac{du}{dt} $$ y la segunda ecuación equivale a $$ \frac{d^2 u}{dr^2} = e^{-2t}\left( \frac{d^2 u}{dt^2} - \frac{du}{dt}\right). $$ Así que la EDO original con variable independiente $r$ es equivalente a la siguiente EDO lineal de segundo orden con variable independiente $t$ : $$ \frac{d^2 u}{dt^2} + (N-2)\frac{du}{dt} + \lambda u. $$