Matriz elevada a la 14ª potencia

Question

Calcular $\left(\begin{matrix} 6&1&0\\0&6&1\\0&0&6\end{matrix}\right)^{14}$

¿Debería hacerlo uno por uno, y luego encontrar un patrón? Siento $6^{14}$ en la diagonal, y los ceros en el "triángulo inferior", pero el "triángulo superior" no estoy seguro. Estaba pensando $14 \cdot 6^{13} $ pero eso no es correcto.

Answer 1

Escribe la matriz como $6I+N$ donde $$N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$ y ampliar $(6I+N)^{14}$ utilizando la fórmula binomial (que es válida aquí porque $I$ y $N$ conmutación). Obsérvese que como $N^3=0$ no es necesario calcular la mayoría de los coeficientes.

Answer 2

Escríbalo como $\left(\begin{matrix} 6&1&0\\0&6&1\\0&0&6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{matrix}\right)$ Utiliza la fórmula del binomio y ve lo que puedes decir sobre las potencias de estas dos matrices.

Answer 3

$$A^n = \begin{bmatrix} 6^n & n \cdot 6^{n-1} & \dbinom{n}2 6^{n-2}\\ 0 & 6^n & n \cdot 6^{n-1}\\ 0 & 0 & 6^n\end{bmatrix}$$ Demuestra esto por inducción.

Answer 4

No me había dado cuenta de que esto había sido sugerido por Harald Hanche-Olsen hasta ahora. Considere esto como una ampliación de su respuesta.

Como la matriz identidad conmuta con cualquier matriz, podemos utilizar el teorema del binomio con $$ \left(6\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}\right)^n $$ while noting that $$ \begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} $$ To get $$ \begin{bmatrix}6&1&0\\0&6&1\\0&0&6\end{bmatrix}^n =6^n\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+6^{n-1}\binom{n}{1}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}+6^{n-2}\binom{n}{2}\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} $$

Answer 5

Denote el elemento en el centro superior (ahora 1) en $A^n$ por $a_n$ . A partir del múltiplo de la matriz y de los valores de la diagonal podemos ver que $$a_{n+1}=6^na_n+6^na_n=2*6^na_n$$ a partir de esto podemos hacer el elemento general enésimo $$a_n=2*6^{n-1}*2*6^{n-2}*...*2*1=2^n*6^{(n-1)+(n-2)+...+1}=2^n*6^{\frac{n(n-1)}{2}}$$ Poniendo n=14 da: $$a_{14}=2^{14}*6^{91}$$