Encontrar morfismos específicos para un producto de categoría

Question

Esta es una pregunta que me da dolores de cabeza:

Dado un producto de categoría $(P,\pi_1,\pi_2)$ de objetos $A_1$ y $A_2$ Necesito demostrar que existen aplicaciones $f_1$ y $f_2$ tal que: $$\pi_i \circ f_j = \delta_{ij}\text{id}_{A_i} $$ $i,j\in \{1,2 \}$ y $\delta_{ij}=1$ si $i=j$ y $\delta_{ij}=0$ si $i \neq 0$ . Este es el diagrama

Adiviné que definir $f_1(A_1)=h(\phi^{-1}(A_1))$ haría la parte de identidad para $\pi_1 \circ f_1$ trabajo, pero no tengo ni idea para el $\pi_2 \circ f_1=0$ .

Gracias de antemano :)

Answer 1

Si tienes morfismos (asumo que realmente tienes una forma de darle sentido a la notación)

$$ 1 \mathrm{id}_{A_1} : A_1 \to A_1$$ $$ 0 \mathrm{id}_{A_1} : A_1 \to A_2$$

entonces no tienes que hacer ningún trabajo. El la propia definición de producto es que existe una función única $ A_1 \to A_1 \times A_2$ que satisface las identidades que usted requiere $f_1$ para satisfacer.