Una desigualdad relacionada con el conjunto de Cantor $\mathscr C \subset [0,1]$

Question

Dejemos que $\mathscr C\subset\mathbb R$ sea el conjunto de Cantor en el intervalo $[0,1]$ . Sea $x\in \mathscr C$ y $0 < r < 1$ tal que $$\frac{2}{3^k} < r \le \frac{2}{3^{k-1}}$$ para algún número entero positivo $k$ . Recordemos que $\mathscr C = \bigcap_{k=1}^\infty E_k$ , donde $E_k$ consiste en intervalos de longitud $3^{-k}$ . Demuestre que el intervalo $B(x,r) := [x-r,x+r]$ se solapa con uno de los intervalos del complemento de $E_{k-1}$ por al menos $$\delta = \min\{r - 3^{-k}, 3^{-(k-1)}\} \ge \frac r2$$

Mi trabajo.

• Por la elección de $k$ , $3^{-(k-1)}\ge \frac r 2$ .
• También, $r > 2\cdot 3^{-k}$ implica que $\frac r 2 > 3^{-k}$ . Restando $r$ en ambos lados, $r - 3^{-k} \ge \frac r 2$ .

Por lo tanto, $$\delta \ge \frac r2$$ Sin embargo, no soy capaz de ver por qué $$\delta = \min\{r - 3^{-k}, 3^{-(k-1)}\}$$ ¿Podría alguien ayudarme a probar lo mismo? Una explicación pictórica o algo por el estilo podría ayudar. Muchas gracias.

Answer 1

No estoy seguro de la dificultad que has encontrado aquí, pero el argumento básico detrás de la desigualdad es el hecho general de que: si dos números reales tienen el mismo límite inferior, entonces el mínimo de los dos (que es necesariamente uno de ellos) está lógicamente minado por este mismo límite inferior. Es decir: $$x \geq b \ , \ y \geq b \implies \min(x,y) \geq b$$

En concreto, tienes aquí $x=r-3^{-k}$ y $y=3^{-(k-1)}$ y $b=r/2$ . Lo que lleva por definición de $\delta$ (como el mínimo) a la desigualdad final. Espero que esto ayude.