Construir un código de peso constante

Question

He estado leyendo sobre los límites superiores de los códigos, y actualmente estoy buscando palabras clave de peso constante.

A $(n, M, d)$ código $\mathcal{C}$ en $\mathbb{F}_q$ es un código de peso constante siempre que cada palabra de código tenga el mismo peso $w$ . Además, $A_q(n, d, w)$ denota el número máximo de palabras de código en un peso constante $(n, M)$ código más $\mathbb{F}_q$ de longitud $n$ y una distancia mínima de al menos $d$ cuyas palabras clave tienen peso $w$ . A continuación, el texto presenta el límite de Johnson restringido para $A_q(n, d, w)$ y lo demuestra.

A partir de aquí, hay varios problemas en el texto. Un problema en particular trata de $A_2(10, 6, 4)$ . Utilizando el límite restringido de Johnson, puedo demostrar que $A_2(10, 6, 4) \leq 5$ . Para demostrar que $A_2(10, 6, 4) = 5$ Tengo que construir un $(10, 5, 6)$ código binario de peso constante con palabras clave de peso $4$ .

Estoy teniendo problemas con esta construcción y me preguntaba si alguien podría ayudarme. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Dos palabras clave binarias de peso $4$ a distancia $6$ de cada uno debe tener un común $1$ en exactamente una posición, ¿verdad? Así que para empezar, aquí son tres de esas palabras clave $$1111000000\\1000111000\\1000000111$$ ¿Puedes encontrar dos más? No puedes. Así que retrocedamos un poco y pensemos un poco más ya que tres palabras clave que comparten un $1$ en el misma posición no funciona. ¿Y si elegimos las cinco palabras clave putativas de manera que para cualquier palabra clave, el otros cuatro tenían en común $1$ en cuatro posiciones diferentes? Así que, ahora tenemos $$1111000000\\1000111000$$ como antes, pero ahora la palabra clave #3 comparte un $1$ en posición $2$ con la palabra clave #1 y un $1$ en posición $5$ con la palabra clave 2, de modo que las tres primeras palabras clave son $$1111000000\\1000111000\\0100100110$$ La cuarta palabra clave comparte un $1$ en posiciones $3,6,8$ con las palabras clave #1, #2, #3 dando respectivamente $$1111000000\\1000111000\\0100100110\\0010010101$$ ¿Puedes averiguar ahora la quinta palabra clave? ¿Qué posiciones no se han utilizado hasta ahora para compartir?

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Tenga en cuenta que hay $\binom{5}{2} = 10$ pares de palabras clave y cada par comparte un $1$ en una posición diferente.