Supongamos que $I$ es un ideal en un anillo polinómico $R=k[x,y]$ . Sea $\overline{k}$ sea el cierre algebraico de $k$ y que $S=\overline{k} [x,y]$ . Entonces es $IS\cap R=I$ ?
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kubi
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Lema Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $L/K$ sea un campo de extensión. Sea $K[X_1,\dots, X_n]$ y $L[X_1,\dots, X_n]$ sean anillos polinómicos. Sea ( $\omega_i$ ) sea una base lineal de $L$ en $K$ . Entonces cada elemento $f \in L[X_1,\dots, X_n]$ puede escribirse de forma única como $f = \Sigma_i \omega_i f_i(X)$ , donde $f_i(X) \in K[X_1,\dots, X_n]$ .
Prueba: Sea ( $M_{\alpha}$ ) es la familia de todos los monomios de $K[X_1,\dots, X_n]$ . Sea $f = \Sigma_{\alpha} c_{\alpha}M_{\alpha}$ , donde $c_{\alpha} \in L$ . Sea $c_{\alpha} = \Sigma_i a_{\alpha i} \omega_i$ , donde $a_{\alpha i} \in K$ . Entonces $f = \Sigma_{\alpha} \Sigma_i a_{\alpha i} \omega_i M_{\alpha} = \Sigma_i \Sigma_{\alpha} a_{\alpha i} M_{\alpha} \omega_i = \Sigma_i \omega_i f_i(X)$ , donde $f_i(X) = \Sigma_{\alpha} a_{\alpha i} M_{\alpha}$ .
A continuación demostramos la unicidad. Supongamos que $\Sigma_i \omega_i f_i(X) = 0$ , donde $f_i(X) \in K[X_1,\dots, X_n]$ . Supongamos que $f_i(X) = \Sigma_{\alpha} a_{\alpha i} M_{\alpha}$ , donde $a_{\alpha i} \in K$ . Entonces $\Sigma_i \omega_i f_i(X) = \Sigma_i \Sigma_{\alpha} \omega_i a_{\alpha i} M_{\alpha} = \Sigma_{\alpha} \Sigma_i \omega_i a_{\alpha i} M_{\alpha} = 0$ . Por lo tanto, $\Sigma_i \omega_i a_{\alpha i} = 0$ para cada $\alpha$ . Por lo tanto, $a_{\alpha i} = 0$ . Por lo tanto, $f_i(X) = 0$ . QED
Propuesta Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $A = K[X_1,\dots, X_n]$ sea un anillo polinómico. Sea $L/K$ sea un campo de extensión. Sea $B = L[X_1,\dots, X_n]$ . Sea $I$ sea un ideal de $A$ . Entonces $I = IB \cap A$
Prueba de ello: Sea $f \in IB$ . Dejemos que ( $\omega_i$ ) sea una base lineal de $L$ en $K$ . Podemos suponer que uno de $\omega_i$ , digamos que $\omega_{i_0}$ es 1. Sea $f_1,\dots,f_n$ sean generadores de $I$ . Podemos escribir $f = \Sigma_k g_k f_k$ , donde $g_k \in B$ . Dejemos que ( $M_{\alpha}$ ) es la familia de todos los monomios de $K[X_1,\dots, X_n]$ . Supongamos que $g_k = \Sigma_{\alpha} c_{\alpha k} M_{\alpha}$ , donde $c_{\alpha k} \in L$ . Entonces $f = \Sigma_k g_k f_k = \Sigma_k \Sigma_{\alpha} c_{\alpha k} M_{\alpha} f_k$ . Desde $M_{\alpha} f_k \in I$ podemos escribir $f = \Sigma_i \omega_i h_i$ , donde $h_i \in I$ . Supongamos que $f \in IB \cap A$ . Por Lemma, $f = h_{i_0}$ . Por lo tanto, $f \in I$ . QED
kubi
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Todos los anillos serán conmutativos.
Lema 1 Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $L$ sea un valor no nulo $K$ -Álgebra. Sea $N$ a $K$ -módulo. Entonces el homomorfismo canónico $N \rightarrow N\otimes_K L$ enviando $x$ a $x\otimes 1$ es inyectiva.
Prueba: Supongamos que $x \neq 0$ . Existe una base de $N$ en $K$ que contiene $x$ . Desde $1 \neq 0$ en $L$ existe una base de $L$ en $K$ que contiene $1$ . Por lo tanto, existe una base de $N\otimes_K L$ en $K$ que contiene $x\otimes 1$ . Por lo tanto, $x\otimes 1 \neq 0$ QED
Lema 2 Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $A$ a $K$ -de la álgebra. Sea $L$ sea un valor no nulo $K$ -de la álgebra. Sea $B = A\otimes_K L$ . Entonces el homomorfismo canónico $M \rightarrow M\otimes_A B$ es inyectiva para cualquier $A$ -Módulo $M$ .
Prueba: $M\otimes_A B = M\otimes_K L$ . Por lo tanto, la afirmación se desprende del lema 1. QED
Propuesta Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $A$ ser un $K$ -Álgebra. Sea $L$ sea un valor no nulo $K$ -de la álgebra. Sea $B = A\otimes_K L$ . Por el lema 1, podemos identificar $A$ como un subring de $B$ por el homomorfismo canónico $A \rightarrow A\otimes_K L$ . Sea $I$ sea un ideal de $A$ . Entonces $I = IB \cap A$
Prueba: Por el lema 2, el homomofismo canónico $A/I \rightarrow A/I\otimes_A B$ es inyectiva. Como $A/I\otimes_A B = B/IB$ hemos terminado. QED
Corolario Dejemos que $K$ sea un campo. Sea $A = K[X_1,\dots, X_n]$ sea un anillo polinómico. Sea $L$ sea un campo de extensión de $K$ . Sea $B = L[X_1,\dots, X_n]$ . Sea $I$ sea un ideal de $A$ . Entonces $I = IB \cap A$
Prueba: Dado que $B = A\otimes_K L$ la afirmación se desprende inmediatamente de la proposición. QED
