La matriz Uw actúa como identidad en el subespacio w

Question

¿Cómo puedo demostrar que una matriz Householder $U_w$ actúa como la identidad en el subespacio $w$ ? y que actúa como un reflejo en el subespacio unidimensional abarcado por w; es decir $U_w(x) = x$ si $x$ es perpendicular a $w$ y $U_w(w) = -w$ .

Answer 1

Si $\|w\|_2=1$ , entonces con $U=I-2ww^*$ , $Uw=(I-2ww^*)w=w-2ww^*w=w-2w=-w$ . Si $w^*x=0$ , $Ux=x-2ww^*x=x-0=x$ .