Sean z y w dos números complejos.

Question

Sean z y w dos números complejos. Demostrar que

$$\left|\frac{z-w}{1-z w}\right| =1 \text{ if } |z|=1 \text{ but } w \neq z$$

Answer 1

Si $|z|=1$ entonces $|z|^2=z\bar z=1\implies |z\bar z|=|z||\bar z|=|\bar z| = 1$

Aplicando este resultado a $|z-w|$ da

$|z-w|=|z-\frac{w\bar z}{\bar z}|=\frac{|z\bar z-w\bar z|}{|\bar z|}=\frac{|1-w\bar z|}{|\bar z|}=|1-w\bar z|$

Desde $w\ne z$ , $w\bar z\ne z\bar z=1\implies |1-w\bar z|\ne 0$

Por lo tanto, podemos dividir ambos lados por $|1-w\bar z|$ para conseguir $\frac{|z-w|}{|1-w\bar z|}=1$

Answer 2

$$\left|\frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right|=1 \text{ if } |z|=1 \text{ but } w\neq z \text{ and } w,z\in\mathbb{C}$$

Aviso:

• $$\overline{z}=\frac{|z|^2}{z}=\frac{1^2}{z}=\frac{1}{z}$$

$$\left|\frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right|=\left|\frac{z-w}{1-\frac{1}{z}\cdot w}\right|=\left|\frac{z-w}{1-\frac{w}{z}}\right|=\left|\frac{z-w}{\frac{z}{z}-\frac{w}{z}}\right|=$$ $$\left|\frac{z-w}{\frac{z-w}{z}}\right|=\frac{\left|z-w\right|}{\left|\frac{z-w}{z}\right|}=\frac{|z-w|}{\frac{|z-w|}{|z|}}=\frac{|z-w|}{1}\cdot\frac{|z|}{|z-w|}=\frac{|z|}{1}=|z|=1$$

Answer 3

Como ha señalado Galc127 en los comentarios, no es cierto. Por ejemplo, tomemos $z=i$ , $w=0$ . Entonces su expresión devuelve $\frac 1 {\sqrt{2}}$

Answer 4

Basta con demostrar que $|z-w|^{2}=|1-\bar{z}w|^{2}$ . Tenga en cuenta que \begin{align*} |z-w|^{2} &=(z-w)\overline{(z-w)}=(z-w)(\bar{z}-\bar{w})=|z|^{2}-z\bar{w}-w\bar{z}+|w|^{2}. \end{align*} Y puedes mostrar de manera similar que \begin{align*} |1-\bar{z}w|^{2}&=|z|^{2}-z\bar{w}-\bar{z}w+|w|^{2} \end{align*} utilizando $|z|^{2}=1$ . Es un cálculo fácil y dejaré esa parte para que la completes.