Si la suma de los dígitos de $n$ son divisibles por 9, entonces $n$ es divisible por 9; ayuda a entender parte de una prueba

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo tal que $n<1000$ . Si la suma de los dígitos de $n$ es divisible por 9, entonces $n$ es divisible por 9.

Llegué hasta aquí:

$$100a + 10b + c = n$$ $$a+b+c = 9k,\quad k \in\mathbb{Z}$$

No sabía qué hacer después de esto, así que consulté la solución

El siguiente paso es:

$$100a+10b+c = n = 9k +99a+9b = 9(k +11a+b)$$

No entiendo cómo puedes añadir $99a + 9b$ al azar, ¿puede alguien explicarme esto?

Answer 1

No lo añadimos "al azar", lo añadimos a ambos lados de la ecuación $$a+b+c=9k$$ para producir $$\begin{align*} (a+b+c)+99a+9b&=(9k)+99a+9b\\\\ 100a+10b+c&=9k+99a+9b\\\\ n&=9k+99a+9b\\\\ n&=9(k+11a+b) \end{align*}$$ La afirmación es cierta para cualquier número entero positivo $n$ , no sólo $n<1000$ . La mejor manera de demostrarlo es a través de aritmética modular .

Answer 2

No sé por qué están pensando en tres dígitos. Yo diría que dejen $n=10a+b$ , donde $b \lt 10$ (intuitivamente, $b$ es el dígito de las unidades y $a$ es todo lo demás). A continuación, $n \pmod 9 \equiv 10a+b = (10-1)a +a +b \equiv a+b \pmod 9$ muestra que podemos "quitar" todos los dígitos más bajos y sumarlos.

Answer 3

Una forma sencilla de verlo: Toma el número $N = \sum_{0 \le k \le n} d_k 10^k$ donde el $d_k$ son los dígitos, módulo 9 que tienes: $$ N = \sum_{0 \le k \le n} d_k 10^k \equiv \sum_{0 \le k \le n} d_k \pmod{9} $$ desde $10 \equiv 1 \pmod{9}$ y así $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ para todos $k$ .