Demostrar que $S^{-1}A = B$ para dominios integrales y $S = \{x\in A\setminus\{0\}: x^{-1}\in B\}$

Question

Dejemos que $A \subset B$ sean dominios integrales conmutativos con $\operatorname{Quot}(A) = \operatorname{Quot}(B).$

Consideremos ahora el subconjunto cerrado multiplicativo $S = \{x\in A\setminus\{0\}: x^{-1}\in B\}$ .

Quiero demostrar que $S^{-1}A = B$ . Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Basta con demostrar $B\subseteq S^{-1}A$ ya que tenemos $A\subseteq B\subseteq \mathrm{Frac}(A)$ . Para cualquier $x\in B$ , $x=\frac{a}{b}$ para algunos $a,b\in A$ . Por definición, correcto.