Derivado de $\sqrt{\sin (x^2)}$

Question

Tengo problemas para calcular la derivada de $f(x)=\sqrt{\sin (x^2)}$ .

Sé que $f'(\sqrt{2k \pi + \pi})= - \infty$ y $f'(\sqrt{2k \pi})= + \infty$ porque $f$ tiene derivación sólo si $ \sqrt{2k \pi} \leq |x| \leq \sqrt{2k \pi + \pi}$ .

La respuesta dice que para todos los demás valores de $x$ , $f'(0-)=-1$ y $f'(0+)=1$ .

¿Por qué? Todo lo que obtengo es $f'(x)= \dfrac{x \cos x^2}{\sqrt{\sin (x^2)}} $ .

Answer 1

¿Cuál es la definición de derivado? Encontrar $f^{\prime}(0),$ hay que calcular el límite de $\displaystyle\frac{\sqrt{\sin h^2} - \sqrt{\sin 0^2}}{h}$ como $h \to 0.$ Pero si utiliza $h\to 0^{+},$ terminará con una respuesta diferente a la que obtendría si optara por $h \to 0^{-}.$

Para el cálculo real, debe saber que $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{\sin h^2}{h^2} = 1,$ así que $\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{\sin h^2}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{\frac{\sin h^2}{h^2}}\cdot |h|}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|}{h},$ que no existe desde $\displaystyle \lim_{h\to 0^{+}} \frac{|h|}{h} = 1$ mientras que $\displaystyle \lim_{h \to 0^{-}} \frac{|h|}{h} = -1.$

Answer 2

Usted tiene (correctamente) que

$$f\,'(x)=\frac{x\cos x^2}{\sqrt{\sin x^2}}$$

donde se define. Cuando $x$ está muy cerca de $0$ , $\sin x\approx x$ y $\cos x\approx 1$ Así que $$f\,'(x)\approx\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}=\begin{cases}1,&\text{if }x>0\\-1,&\text{if }x<0\;.\end{cases}$$

Se puede hacer esto más riguroso, por supuesto, pero esta es una manera de pensar que deja la razón bastante clara sin ningún cálculo complicado.

Answer 3

Utilizando el regla de la cadena dos veces, podemos diferenciar $f(x) := \sqrt{\sin(x^2)}$ para ceder:

$$\frac{df}{dx} = \frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}} . $$

La notación $f'(0-) =-1$ significa que a medida que nos acercamos a cero a lo largo del eje negativo, la derivada tiende hacia $-1$ . Para comprobarlo, dejemos que $x=-k$ donde $k>0$ . Tenemos:

$$\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=-k} = \frac{-k\cos((-k)^2)}{\sqrt{\sin((-k)^2)}} = \frac{-k\cos(k^2)}{\sqrt{\sin(k^2)}} \, .$$

La pregunta es: ¿Qué pasa cuando $k$ se hace cada vez más pequeño y tiende a cero? Aquí utilizamos el bonito resultado de que para funciones con límites bien definidos, el producto de los límites es el límite del producto. En primer lugar $\cos(k^2) \to 1$ como $k \to 0$ . A continuación, consideremos el cociente $-k/\sqrt{\sin(k^2)}$ . Vamos a definirlo:

$$L:=\lim_{k \to 0^+} \frac{-k}{\sqrt{\sin(k^2)}} \implies L^2 = \lim_{k \to 0^+} \frac{k^2}{\sin(k^2)} = 1 \, .$$ Este último paso utiliza el conocido resultado de que $(\sin\theta)/\theta \to 1$ como $\theta \to 0$ . Claramente $L<0$ y $L^2=1$ por lo que se deduce que $L=-1$ como querías mostrar.

La notación $f'(0+) =1$ significa que a medida que se tiende a cero en el eje positivo, la derivada tiende a $1$ . Para comprobarlo, dejemos que $x=k$ donde $k>0$ . Tenemos:

$$\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=k} = \frac{k\cos(k^2)}{\sqrt{\sin(k^2)}} \, .$$

La pregunta es: ¿qué pasa cuando $k$ se hace cada vez más pequeño y tiende a cero? En primer lugar $\cos(k^2) \to 1$ como $k \to 0$ . A continuación, consideremos el cociente $k/\sqrt{\sin(k^2)}$ . Vamos a definirlo:

$$L:=\lim_{k \to 0^+} \frac{k}{\sqrt{\sin(k^2)}} \implies L^2 = \lim_{k \to 0^+} \frac{k^2}{\sin(k^2)} = 1 \, .$$ Claramente $L>0$ y $L^2=1$ por lo que se deduce que $L=1$ como querías mostrar.

Answer 4

No sé si lo hicisteis así, así que pensé que al menos lo mostraría.

\begin{align} y &= \sqrt{\sin x^2}\\ y^2 &= \sin x^2\\ 2yy' &= 2x \cos x^2\\ y' &= \frac{x \cos x^2}{\sqrt{\sin x^2}} \end{align}