He estado haciendo algunos cálculos de geodésicas en diferentes Múltiples de Riemann. Más concretamente, estoy tratando de calcular, dados dos puntos en un Manifiesto de Riemann, la menor distancia entre esos puntos.
Empecé tratando de calcular la distancia de dos puntos en una 2-esfera. Eso fue fácil. Entonces se me ocurrió considerar no una 2-esfera sino una 2-esfera con una especie de agujero de gusano en ella, algo así como un donut...
He pensado en utilizar la siguiente métrica: $$ ds^2=(1-b(r)/r)^{-1}dr^2+r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\varphi^2, $$ donde $b(r)$ es alguna función que debe describir la garganta del agujero de gusano - como se puede ver ici . Primera pregunta: ¿Es esto correcto para lo que estoy buscando?
Entonces, dada esta métrica, la distancia viene dada por: $$ l=\int{ds}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}[(1-b(r)/r)^{-1}\dot{r}^2+r^2+ r^2\sin^2\theta \dot{\varphi}^2]^{1/2}d\theta, $$ ¿verdad? Y entonces, debería hacer uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange... ¿Estoy en lo cierto?
