¿Es la función $Z(t,q)$ ¿se puede medir progresivamente?

Question

El ejercicio está tomado de Stroock y Varadhan Procesos de difusión multidimensional capítulo 1 página 44 es el siguiente

En cuanto a la primera parte, razoné lo siguiente:

Considere la función $F(q_1,q_3) = 1_{A}(q_1) 1_{B}(q_3)$ para $A \in \mathcal{F}_1$ y $B \in \mathcal{F}_3$

Entonces defina $$|G|(q_1,q_2): = \int F(q_1,q_3) \, |\mu|(q_2,\, dq_3) = 1_{A}(q_1) |\mu(q_2,B)|\\ G(q_1,q_2): = \int F(q_1,q_3) \, \mu(q_2,\, dq_3) = 1_{A}(q_1) \mu(q_2,B) $$

Desde $\mu(q_2,\cdot)$ es una medida con signo, $|\mu(q_2,B)|< \infty$ y como $q_2 \mapsto \mu(q_2,B)$ est $\mathcal{F}_2$ medible $|G|(q_1,q_2)$ est $\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2$ medible.

Lo mismo ocurre con las funciones simples $F(q_1,q_3) = \sum_{i,j=1}^K \alpha_{i,j} 1_{A_i}(q_1)1_{B_j}(q_3)$

Ahora cualquier función positiva medible $F(q_1,q_3)$ es el límite creciente de las funciones simples $F_n$ . Observe que $|G|_n \leq |G|_{n+1}$ una vez $F_n \leq F_{n+1}$

El conjunto $N^c = \{(q_1,q_2) \mid \lim_n |G|_n(q_1,q_2) = \infty\} = \cap_m \cup_n \{(q_1,q_2) \mid |G|_n(q_1,q_2) > m\}$ es un conjunto medible (en $\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2$ )

En $N$ la función $G(q_1,q_2) = \lim_n G_n(q_1,q_2)$ est $\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2$ medible

Dado que cualquier función medible puede dividirse en su parte positiva y su parte negativa $F = F^+ - F^{-}$ concluimos la primera parte del ejercicio.

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Ahora viene la parte difícil

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No estoy seguro de cómo tratar $\theta(s,q)$ ni con $\eta(s,q)$

Traté de considerar $F((s,q), t) = 1_{[0,t]}(s) \theta(s,q)$ y $\mu((s,q), t) = \eta(s\wedge t, q)$ . Tenga en cuenta que $\mu$ es una medida con signo que satisface las condiciones de la primera parte

En este caso $E_1 = E_2 = [0,\infty) \times \Omega$ y $\mathcal{F}_1 = \mathcal{F}_2 = \text{Prog}$ el álgebra sigma de los procesos progresivamente medibles y $\mathcal{F}_3 = \mathcal{B}[0,\infty)$

En este caso obtenemos

$G((t,q), (t,q)) = \int_0^t \theta(s,q)\eta( ds, q) $ si $\int_0^t \theta(s,q)|\eta|( ds, q) $ como $\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_1$ función medible. Esto significa que $Z(t,q) = G((t,q), (t,q))$ es un $\mathcal{F}_1$ función medible, es decir, una función progresivamente medible.

¿Es correcto este argumento?

Answer 1

En primer lugar, cada $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_3$ - La función medible es un límite puntual de funciones simples, pero no es necesario que cada conjunto en $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_3$ tienen la forma $A\times B$ para algunos $A\in\mathcal{F}_1$ y $B\in \mathcal{F}_3$ . es decir, en general la forma de la función simple que converge a F, no es de la forma $$\sum_{i\le k}a_i\mathbb{1}_{B}\mathbb{1}_{C}.$$

Ahora, si $F\geq 0$ , $\mu$ una medida y $\int Fd \mu:E_1\times E_2\to\mathbb{R}\cup \{\infty\}$ viene dada por $$\left(\int Fd\mu\right)(q_1,q_2)=\int_{E_3}F(q_1,q_3)\mu(q_2,dq_3)$$ Demostraremos que $\int Fd\mu$ est $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2-$ medible. Ideado, para $F=\mathbb{1}_{B\times C}$ con $B\in \mathcal{F}_1 $ y $C\in \mathcal{F}_2 $ la prueba del OP arriba que $\int Fd\mu$ est $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2-$ medible. Ahora, consideremos el conjunto $$\mathcal{L}=\left\{A\in\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_3; \int \mathbb{1}_{A}d\mu\,\mbox{is measurable}\right\}\subseteq \mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_3 $$ y observe que $\mathcal{L}$ est $\lambda$ -sistema que contiene la familia de conjuntos $\left\{B\times C\right\}_{B\times C\,\in\,\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_3}$ . Por $\pi-\lambda$ Teorema $$\mathcal{L}= \mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_3$$ y esto implica que cada función simple positiva F, $\int Fd\mu$ est $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2$ -Medible.

Ahora, como F es no negativo hay una secuencia no decreciente $\{F_n\}_n$ de función simple tal que $0\le F_n\nearrow F$ . Obsérvese que utilizando el teorema de convergencia monótona, para $L\in\mathbb{R}$ $$\left\{\int Fd\mu\le L\right\}=\bigcap_n \left\{\int F_n d\mu\le L\right\}.$$ es decir $\int Fd\mu$ es medible, porque cada $\int F_nd\mu$ así es. El caso anterior implica que $\int\lvert F\rvert\,d\lvert\mu\rvert$ es $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2$ -si la función F es $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_3$ -medible y $\mu $ es una medida con signo finito. En particular $$N^{|\mu|}_{|F|}=\left\{\int \lvert F\rvert \,d\lvert\mu\rvert<\infty\right\}$$ es un conjunto medible. Por el teorema de descomposición de Jordan $$\mu=\overline{\mu}-\underline{\mu}$$ y tenemos que $$N^{|\mu|}_{|F|}=N^{\overline{\mu}}_{F^{+}}\cap N^{\overline{\mu}}_{F^{-}}\cap N^{\underline{\mu}}_{F^{+}}\cap N^{\underline{\mu}}_{F^{-}}$$ y esto implica que en $N^{|\mu|}_{|F|}$ $$\int Fd\mu = \int F^{+}d\overline{\mu}- \int F^{+}d\underline{\mu} - \int F^{-}d\overline{\mu} + \int F^{-}d\underline{\mu} $$ está bien definida, y por la primera parte cada función de la suma anterior es $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2[N^{|\mu|}_{|F|}]$ -Medible.

Para la función $Z(t,q)$ . Set, y ver que para $\theta\geq 0$ y $\eta$ función continua no decreciente y progresivamente medible. Fijar $t\geq 0$ por el resultado anterior $$\left(\int_{[0,t]} \theta d\mu\right)(q_1,q_2)=\int_{[0,t]}\theta(s,q_1)\mu(ds,q_2)$$ es $\mathcal{F}_{t}\otimes \mathcal{F}_{t}$ -Medible. Si $\rho(q)=(q,q)$ es una función medible de $\left(E,\mathcal{F}_t\right)$ a $\left(E\times E, \mathcal{F}_{t}\otimes \mathcal{F}_{t}\right)$ ,

$$Z^{\mu}_{\theta}(t,q)=\left[\left(\int_{[0,t]} \theta d\mu\right) \circ \rho\right](q)=\int_{[0,t]}\theta(s,q)\mu(ds,q)$$

Es $\mathcal{F}_{t}$ -medible, y fija $q\in E$ , $Z(\cdot,q)$ es una función continua derecha no decreciente, por $\textbf{1.2.1 Lemma}$ del libro de referencia. $Z(t,q)$ es una función progresivamente medible. Si $\theta$ y $\mu$ satisface las condiciones de los estados, defina la función $Z:[0,\infty)\times E\to\mathbb{R}$ por $$Z^{\mu}_{\theta}=Z^{\overline{\mu}}_{\theta^{+}}-Z^{\underline{\mu}}_{\theta^{+}} -Z^{\overline{\mu}}_{\theta^{-}} + Z^{\underline{\mu}}_{\theta^{-}}$$ en $$N^{|\mu|}_{|\theta|}=\left\{Z^{|\mu|}_{|\theta|}<\infty\right\}= N^{\overline{\mu}}_{\theta^{+}}\cap N^{\overline{\mu}}_{\theta^{-}}\cap N^{\underline{\mu}}_{\theta^{+}}\cap N^{\underline{\mu}}_{\theta^{-}}$$ y $0$ de lo contrario. La función está bien definida, y por las observaciones anteriores es continua hacia la derecha y $Z(t,\cdot)$ est $\mathcal{F}_t$ medible. Por el $\textbf{1.2.1 Lemma}$ $Z$ es progresivamente medible.