Hace un par de días estaba recordando algunos hechos acerca de la p-ádico números, por ejemplo el hecho de que el p-ádico métrica es una ultrametric implica fuertemente que no hay orden en $\mathbb{Q}_p$, como a cualquier número en el interior de una bola está en el hecho de su centro.
Este argumento no es correcto. Por ejemplo, ¿por qué no se aplican a $\mathbb{Q}$ con $p$-ádico métrica? De hecho en cualquier campo en el que se admite un orden, también admite un trivial no Arquimedianos métrica.
Es cierto a pesar de que $\mathbb{Q}_p$ no puede ser ordenado. Por el Artin-Schreier teorema, esto es equivalente al hecho de que $-1$ es una suma de cuadrados. El uso de Hensel del Lexema y un poco de la forma cuadrática de la teoría no es difícil demostrar que $-1$ es una suma de cuatro cuadrados en $\mathbb{Q}_p$.
Yo sé que si usted toma la finalización de la algebraicas cerca de la p-ádico de la finalización de obtener algo que es isomorfo a $\mathbb{C}$ (este resultado fue muy sorprendente hasta que he estudiado el modelo de la teoría, luego se volvió obvio).
No me refiero a la selección, pero estoy familiarizado con el modelo básico de la teoría y no veo la manera de que ayuda a establecer este resultado. Más bien es básico de la teoría de campo: dos algebraicamente cerrado campos de iguales características y trascendencia absoluta grado son isomorfos. (De este a la integridad de la teoría de la algebraicamente cerrado campos de cualquier característica dada de la siguiente manera fácil, por Vaught de la prueba.)
Así que tengo que pensar, hay un $p$-ádico número cuyo cuadrado es igual a 2? 3? En el 2011? Para que los números primos p$$?
Todas estas respuestas dependen de $p$. La situación general es el siguiente: por alguna extraña $p$, el grupo de los cuadrados de las clases de $\mathbb{Q}_p^{\times}/\mathbb{Q}_p^{\times 2}$ -- que parametriza cuadrática extensiones -- ha pedido $4$, es decir, hay exactamente tres cuadrática extensiones de $\mathbb{Q}_p$ dentro de cualquier algebraica de cierre. Si $u$ es un número entero que no es un cuadrado modulo $p$, entonces estas tres extensiones se dan más a fondo adjoinging $\sqrt{p}$, $\sqrt{u}$ y $\sqrt{up}$. Cuando $p = 2$ el grupo de la plaza de clases tiene cardinalidad $8$, es decir, hay $7$ cuadrática extensiones.
Cuánto hacia abajo el agujero del conejo de números algebraicos se puede ir en el interior de la p-ádico números? Hay resultados generales conexión de la elección (o más bien propiedades) de $p$ a la "cantidad" de algebraica de cierre se da?
No sé exactamente lo que está buscando como una respuesta aquí. La absoluta grupo de Galois de $\mathbb{Q}_p$ es, en cierto sentido, más bien se entiende bien: es un infinito profinite grupo sino que es "pequeño" en el sentido técnico de que sólo hay un número finito de abiertos subgrupos de cualquier índice. También cada finito de extensión de $\mathbb{Q}_p$ es solucionable. Todo es vago -- pero justo -- a decir que los campos de $\mathbb{Q}_p$ son "mucho más cerca de ser algebraicamente cerrado" que el campo $\mathbb{Q}$, pero "no como cerca de ser algebraicamente cerrado" como el campo finito de $\mathbb{F}_p$. Esto puede ser hecho preciso de diversas maneras.
Si usted está interesado en la $p$-ádico números que usted debe leer el nivel intermedio de la teoría del número de textos en los campos de la región. Por ejemplo esta página recopila las notas de un curso (en parte) de los campos que me enseñaron en la primavera pasada. Yo también recomiendo los libros llamados Campos Locales: uno por Cassels y uno por Serre.
Añadido: véase, en particular, las Secciones 5.4 y 5.5 de este conjunto de notas para obtener información acerca de la cantidad de $n$th poder de las clases y el número de extensiones de campo de un grado determinado.