Construir una resolución proyectiva

Question

Estoy trabajando en un problema que me pide que calcule los grupos Tor. Estoy tratando de aprender este material por mi cuenta, así que no he tenido ninguna educación formal en esta área.

En concreto, me dan el anillo $R=\mathbb{Z}[X]/(X^n)$ , un $R$ -Módulo $M$ y se les pide que calculen los grupos $Tor_i^R(M, (x^m))$ donde $x=X+(X^n)$ es la imagen de $X$ en $R$ y $0 \leq m \leq n-1$ .

Sé que para calcular estos grupos, primero tengo que construir una resolución proyectiva para $(x^m)$ como $R$ -módulo, pero no estoy seguro de por dónde empezar. Conozco la prueba de que todo módulo tiene una resolución proyectiva (de hecho, libre), pero ¿cómo construyo realmente los módulos proyectivos (libres) y los mapas entre ellos? Es decir, ¿cómo sé qué aspecto tienen los módulos libres canónicos concretamente en este ejemplo?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea tu anillo, y $I$ su ideal, donde $m$ es como en su puesto. Comience por notar que hay un epimorfismo $A\to I$ que se obtiene al multiplicar por $x^m$ . Su núcleo es el ideal $(x^{n-m})$ y puedes cubrirlo con $A$ de nuevo mediante la multiplicación por $x^{n-m}$ . Se obtiene así una resolución periódica $$ \cdots\longrightarrow A\longrightarrow \cdots\stackrel{x^{n-m}}\longrightarrow A\stackrel{x^m}\longrightarrow I\to 0$$

a partir del cual puede calcular los grupos Tor fácilmente ahora, en particular sólo necesita calcular los dos primeros grupos Tor. Concretamente, dejemos que $M$ ser un $A$ -módulo a la izquierda. Tensando la resolución anterior con $M$ se obtiene

$$ \cdots\longrightarrow M\longrightarrow \cdots\stackrel{x^m}\longrightarrow M\stackrel{x^{m-n}}\longrightarrow M\to 0$$

donde los mapas también se multiplican por el término indicado. Esto da que $$\operatorname{Tor}_i^A(I,M) = \begin{cases} \dfrac{\ker\{x^m : M \to M\} }{ x^{n-m} M } & \text{ if $i\neq 0$ is even}\\ \dfrac{\ker\{x^{n-m} : M \to M\} }{ x^mM} & \text{ if $i$ is odd}\\ \dfrac{M }{x^{n-m} M} & \text{ if $i=0$ } \end{cases}$$